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1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,问题提出,1.如何求作两个非零向量的和向量、差向量?,2.相同的几个数相加可以转化为数乘运算,如33333=53=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢?这需要从理论上进行探究.,探究一:向量的数乘运算及其几何意义,思考1:已知非零向量a,如何求作向量aaa和(a)(a)(a)?,aaa,(a)(a)(a),思考2:向量aaa和(a)(a)(a)分别如何简化其表示形式?,aaa记为3a,(a)(a)(a)记为3a.,思考3:向量3a和3a与向量a的大小和方向有什么关系?,思考4:设a为非零向量,那么 a和 a还是向量吗?它们分别与向量a有什么
2、关系?,思考5:一般地,我们规定:实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作a,该向量的长度与方向与向量a有什么关系?,(1)|a|=|a|;,(2)0时,a与a方向相同;0时,a与a方向相反;=0时,a=0.,思考6:如图,设点M为ABC的重心,D为BC的中点,那么向量 与,与 分别有什么关系?,探究二:向量的数乘运算性质,思考1:你认为2(5a),2a2b,a可分别转化为什么运算?,-2(5a)=-10a;2a 2b=2(a+b);(3)a=3a a.,思考2:一般地,设,为实数,则(a),()a,(ab)分别等于什么?,(a)=()a;()a=a a;(a b)=ab.,思
3、考3:对于向量a(a0)和b,若存在实数,使b=a,则向量a与b的方向有什么关系?,思考4:若向量a(a0)与b共线,则一定存在实数,使b=a成立吗?,思考5:综上可得向量共线定理:向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使b=a.若a0,上述定理成立吗?,思考6:若存在实数,使,则A、B、C三点的位置关系如何?,思考8:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b,以及任意实数、x、y,(xayb)可转化为什么运算?,(xayb)=xayb.,理论迁移,例1 计算(1)(3)4a;(2)3(ab)2(ab)a;(3)(2a3bc)(3a2bc).,例2 如图,已知任意两个非零向量a,b,试作=ab,=a2b,=a3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?,例3 如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,试用a,b表示向量、,小结作业,1.实数与向量可以相乘,其积仍是向量,但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义,向量除以非零实数就是数乘向量.,2.若a=0,则可能有=0,也可能有a=0.,3.向量的数乘运算律,不是规定,而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线,直线平行,线段数量关系的理论依据.,作业:P90练习:3,4,5,6.,