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1、第2章 传感器的一般特性,数学模型,基本特性指标,根据被测输入量,静态特性（稳态或准静态）,动态特性（周期变化或瞬态）,静态特性指标,动态特性指标,静态数学模型,动态数学模型,传感器要将各种信息量变换为电量，描述这种变换的输入与输出的关系表达了传感器的基本特性。,2.1 概述,静态特性：指在静态信号的作用下，描述传感器的输入、输出之间的一种关系。,2.2 传感器的静态特性,一、传感器的静态模型,条件：不考虑传感器滞后、蠕变情况下,x输入量；y输出量；a0零位输出；a1传感器的线性灵敏度：K、S；a2 an非线性项待定常数。,传感器静态模型的几个特例(a0=0),迟滞线性度灵敏度重复性分辨力,精
2、度稳定性漂移阈值,二、传感器的静态特性指标,(1)迟滞（回差滞环）现象：,传感器的滞回误差,1.迟滞现象和回差EH,如图，对于同一大小的输入信号x，在x连续增大的行程中，对应于某一输出量为yi，在x连续减小的过程中，对应于输出量为yd，yi和yd二者不相等，这种现象称为迟滞现象。,(2)滞环误差：(3)迟滞大小通常由实验确定，最大滞环率（回差EH）：,迟滞特性能表明传感器在正向输入量增大行程和反向输入量减小行程期间，输入输出特性曲线不重合的程度。,正反行程输出值间的最大差值。,传感器实际的输出输入关系曲线偏离拟合直线的程度，称为传感器的线性度或非线性误差。,输出-输入实际曲线与拟合直线之间的最
3、大偏差,输出满量程值,传感器的线性度,2.线性度eL（非线性误差）,拟合直线：在输入量变化允许的范围内，可以用满足一定条件的直线来近似地代表实际曲线或其一段，该直线即称为“拟合直线”（工作曲线）。,工作曲线的拟合方法有多种。选定的工作曲线不同，线性度亦不相同。选定工作曲线的原则是（保证最可能小的线性误差,计算与使用方便）。我们最常采用的是最小二乘法进行曲线拟合。,1.2 传感器的一般特性,过零旋转拟合,端点连线拟合,端点平移拟合,几种直线拟合方法,理论拟合,最小二乘法：与校准曲线的残差平方和最小,例：用最小二乘法求拟合直线。,分别对k和b求一阶导数，并令其=0，,设拟合直线,残差,可求出b和k
4、,例：有一压力传感器，校验数据如表1所示，求迟滞误差、最小二乘法拟合直线方程及线性度。,表1 压力传感器校验数据及数据处理表,迟滞误差数据,求迟滞误差：,解 为了求最小二乘法拟合直线方程，就是要确定方程系数b和K。为此，首先对三次正、反行程校验输出值平均，计入表中。校验数据点数n=6，并根据前面计算公式，列表求出:由此可得 K=0.3987V/MPa，b=0.0028V，则直线方程为y=0.3987x+0.0028(V),再将各校验点的输入值代入直线方程即可得到理论拟合直线上对应点的输出值yi，计入表中。由此可得实验曲线与拟合直线间各校验点的非线性误差i=yiyi。最大非线性误差max=0.0
5、005MPa，所以非线性误差为,求解线性度,重复性表示传感器在输入量按同一方向（增或减）全量程多次测试时所得特性曲线的不一致程度。,(2)按相同输入条件多次测试的输出特性曲线越重合，其重复性越好，误差也越小；(3)传感器重复性误差与迟滞现象相同，主要由传感器机械部分的磨损、间隙、松动、部件的内摩擦、积尘以及辅助电路老化和漂移等原因产生。,3.重复性Ez,(4)不重复性误差一般属于随机误差的性质,置信系数(23),可用标准偏差表示,如标准偏差 服从高斯(正态)分布，标准偏差可按贝塞尔公式计算：,稳态下传感器的输出增量与输入增量的比值。即,？纯线性传感器与非线性传感器的灵敏度有何区别,传感器灵敏度
6、,4.灵敏度Sn（或K）,5.分辨力（xmin）在规定的测量范围内，传感器所能检测出最小输入变化量。分辨率用相对于输入满量程的相对值表示。即,xFS 输入量的满量程值,6.漂移 传感器在外界的干扰下，输出量发生了与输入量无关的变化。主要有“零点漂移”和“灵敏度漂移”，这两种漂移又可分为“时间漂移”和“温度漂移”。,7.静态误差（精度）,(1)将非线性、滞后、重复性误差几何、代数法综合,偏大,(2)将全部校准数据相对于拟合直线求标准偏差,偏小,(3)将非线性、迟滞视为系统误差，重复性视为随机误差,提高传感器性能的技术途径:通常，由单一敏感元件与单一变送器组成的传感器，其输出-输入特性较差，如果采
7、用差动、对称结构和差动电路（如电桥）相结合的差动技术，可以达到消除零位值、减小非线性、提高灵敏度、实现温度补偿和抵消共模误差干扰等的效果，改善传感器的技术性能。,2.3 传感器的动态特性,动态特性：输入量随时间变化时传感器的响应特性。,例：设TT0，现在将热电偶迅速插到恒温水槽的热水中（插入时间忽略不计），这时热电偶测量的温度参数发生一个突变，即从T0突然变化到T，立即看一下热电偶输出的指示，是否在这一瞬间从原来的T0立刻上升到T呢？,动态误差,输出稳定后与理想输出量的误差,输入量跃变，输出量在过渡状态的误差,一、传感器的动态模型,数学描述,微分方程(时域),传递函数（频域）,1.微分方程,条
8、件：线性时不变系统（高阶常系数线性微分方程）,例：一阶压力传感器动态数学模型,列出微分方程,设输出量y(t)为位移根据牛顿第三定律 f阻力+f弹力=F(t),2.传递函数,定义：初始条件为零时，输出量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（激励函数）拉普拉斯变换之比。,两边取拉氏变换：,传递函数：,特点：,（1）反映传感器系统本身特性，与 x(t)无关。,（2）X(s)、Y(s)、H(s)知二求一,（3）相同的传递函数可以表征不同物理系统,（4）对(S)=(S)(S)进行反变换，即可得到Y(t)与X(t)关系。,（5）多环节串并联的传感器系统,(A)串联系统：总传递函数为各子系统传递函数的积。,(
9、B)并联系统：总传递函数为各子系统传递函数的和。,二、动态特性指标,通常从时域和频域两方面采用瞬态响应法和频率响应法来分析传感器的动态特性,1.传感器的阶跃响应(时域)下面以传感器的单位阶跃响应来评价传感器的动态特性。,当给静止的传感器输入一个阶跃信号,其输出信号即为传感器的阶跃响应。,(1)一阶传感器的阶跃响应特性,一阶传感器的微分方程为：,对初始状态为零的传感器，当输入一个单位阶跃信号,由于x(t)=1,X(s)=1/s，传感器输出的拉氏变换为,一阶传感器的传递函数：,一阶传感器的单位阶跃响应信号为,响应时间t=TS 时的动态误差ed：,为了讨论方便，灵敏度一般都归一化。,(2)二阶传感器
10、的单位阶跃响应,故,设传感器的静态灵敏度s0=1则二阶传感器传递函数为,传感器输出的拉氏变换:,二阶传感器的单位阶跃响应,上图为二阶传感器的单位阶跃响应曲线，它在很大程度上取决于阻尼比和固有角频率n。,固有频率n由传感器主要结构参数所决定,n越高,传感器的响应越快。当n为常数时,传感器的响应取决于阻尼比。,=0时，响应是一个等幅振荡过程，又称无阻尼状态，达不到稳态；1时，响应是一个不振荡的衰减过程，又称过阻尼状态，达到稳态所需时间较长；=1 时，响应是一个由不振荡衰减到振荡衰减的临界过程，又称为临界阻尼状态；0 1时，响应是一个衰减振荡过程，达到稳态值所需时间随的减小而加长，又称为欠阻尼状态。
11、,分析：,一阶传感器的时域动态性能指标,(3)传感器的时域动态性能指标,时间常数：一阶传感器输出上升到稳态值的63.2%所需的时间,称为时间常数。延迟时间td：传感器输出达到稳态值的50%所需的时间。上升时间tr：对有振荡的传感器，它是指从零上升到第一次达到稳态值所需的时间。对无振荡的传感器，它是指从稳态值的10%到90%。,t,r,t,d,0,0.5,0.632,t,0.9,1.0,t,y,(,t,),0.1,二阶传感器的时域动态性能指标,峰值时间tp：二阶传感器输出响应曲线达到第一个峰值所需的时间。超调量：二阶传感器输出超过稳态值的最大值。=(y(tp)-y()/y()稳定误差：当t时，传
12、感器阶跃响应的实际值与期望值之差。响应时间ts：响应曲线衰减到稳态值之差不超过5%或2%所需要的时间，有时称为过渡过程时间。,对于稳定的常系数线性系统，拉氏变换是广义的傅氏变换，取S=+j中的=0，则S=j，即拉氏变换局限于S平面的虚轴，则得到傅氏变换：,通常(j)是个复数，可以用e指数的形式表示：,2.传感器的频率响应,A()表示传感器的输出与输入的幅度比值随频率而变化的大小。也称为传感器的动态灵敏度（或增益）。,其中，A()为传感器幅频特性，可表示为：,分别表示H(j)的实部和虚部,则频率特性的相位角()表示传感器输出信号与输入信号之间相位差随频率变化的关系，故称之为传感器相频特性。,对于
13、传感器，通常是负的，表示传感器输出滞后于输入的相位角度。,(1)零阶传感器的频率响应 零阶系统的微分方程为,其中,零阶传感器的频率响应函数为,则其幅频函数为：,结论：零阶传感器的输出值与输入值成恒定的比例关系，与输入量的频率无关。即零阶系统具有理想的动态特性，无论被测量x(t)如何随时间变化，零阶系统的输出都不会失真，其输出在时间上也无任何滞后，所以零阶系统又称为比例系统。,相频函数为：,(2)一阶传感器的频率响应解：一阶系统的微分方程,则频率响应函数为,对上式进行拉氏变换，得,越小，频率响应特性越好。,(b)相频特性,(a)幅频特性,结论：,一阶传感器的静态灵敏度s0说明其静态特性;时间常数
14、具有时间的量纲，它反映传感器的惯性的大小。一阶系统又称为惯性系统。,所谓二阶传感器是指由二阶微分方程所描述的传感器。很多传感器，如振动传感器、压力传感器等属于二阶传感器，其微分方程为：,(3)二阶传感器的频率响应,设传感器的静态灵敏度s0=1，传感器的拉氏变换为,由此可写出其频率特性表达式，即,静态灵敏度,固有角频率,阻尼比,其幅频特性、相频特性分别为,相位角负值表示相位滞后。由上述两式可画出二阶传感器的幅频特性曲线和相频特性曲线。,二阶传感器的幅频特性曲线和相频特性曲线,结论：,当 时，A()1，()很小，此时，传感器的输出y(t)再现了输入x(t)的波形。,二阶传感器的频率响应特性主要取决
15、于传感器的固有频率n和阻尼比。,为了减小动态误差和扩大频率响应范围，一般提高传感器固有频率n。通常固有频率n至少应为被测信号频率的(3-5)倍，即n(3-5)，实际测试中n10。,式中，H(0)表示=0时的幅频特性，即静态放大倍数。,一阶传感器系统：,二阶传感器系统：,动态误差,设传感器输出y(t)和输入x(t)满足下列关系：,此式说明:（1）输出对输入放大了A0倍。（2）输出对输入滞后了0时间。,式中A0和0都是常数,传感器的无失真测试条件,传感器的频率响应为,其中,理想的传感器的幅频特性应当是常数（即水平直线），相频特性应当是线性关系，否则就要产生失真。,1掌握传感器静态特性指标及定量描述
16、方法；,小 结,3掌握传感器动态响应（阶跃响应和频率响应）的分析方法；,2掌握传感器动态特性的描述方法（微分方程，传递函数，频率特性）及其动态特性指标（一阶传感器的时间常数，二阶传感器的固有频率n和阻尼比）的意义；,一 阶 传 感 器 二 阶 传 感 器微分方程 传递函数 频率特性 幅频特性相频特性,主要计算公式,作 业,1.何为传感器静态特性？静态特性主要技术指标有哪些？2.何为传感器动态特性？动态特性主要技术指标有哪些？3.测量系统实现不失真测量的条件是什么？,4.某压力传感器的标定数据如表2.1所列。求以最小二乘直线作为参考工作直线的线性度、迟滞误差。,表2.1 某压力传感器标定数据,6.有一个传感器，其微分方程为，其中 y输出电压（mV），x为输入温度（）,试求传感器的时间常数和静态灵敏度k。,7.某力传感器为一典型的二阶振荡系统，已知该传感器的固有频率f0=800Hz，阻尼比=0.14，试求用它测量频率为400Hz的正弦交变力时，其输出与输入幅值比A()和相位差()各为多少？,8、某测量系统的频率响应曲线,若输入周期信号,试求其响应 y(t)。,9、已知某二阶系统传感器的自振频率f0=20kHz，阻尼比=0.1，若要求该系统的输出幅值误差不大于3%，试确定该传感器的工作频率范围。,
