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1、第七节,一、三角级数及三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第十一章,傅里叶级数,周期函数反映客观世界中的周期性现象，,正弦函数是最简单的周期函数之一。,(A为振幅,为角频率,为初相),如心脏的跳动（心电图），波浪，单摆的振动。,一、三角级数,问题：给定一个周期函数，能否展开为简单的周期函数（如正弦函数）的和？,问题:,物理意义：把一个一般的周期运动分解为不同频率的简谐振动的叠加。,谐波分析,二、三角函数系的正交性,三角函数系：,三、函数展开成傅里叶级数,利用三角函数系的正交性.,由公式 确定的,以,的傅里叶系数为系数的三角级数 称为,的傅里叶级数.,称为,的傅
2、里叶系数;,问题:,狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),先求傅里叶系数,解：所给函数满足狄利克雷充分条件.,（连续点）,注：泰勒级数是局部逼近，而傅里叶级数是全局逼近。,解：所给函数满足狄利克雷充分条件.,所求函数的傅氏展开式为,注意以上两个例子的结果，容易证明,例3.,上的表达式为,将 f(x)展成傅里叶级数.,解:,设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在,当,时,级数收敛于,解：,将 f(x)延拓成以2为周期的函数 F(x),由例2结果可得，,当 x=0 时,f(0)=0,得,周期延拓 F(x),f(x)在0,上展成正弦级数,周期延拓 F(x),奇延拓,偶延拓,f(x)
3、在0,上展成余弦级数,解:先求正弦级数.,去掉端点,将 f(x)作奇周期延拓,例6.将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数.,根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:,级数的部分和,逼近 f(x)的情况见右图.,n1,n2,n3,n4,n5,再求余弦级数.,将 作偶周期延拓,由例2结果可得，,三、以2l为周期的函数的傅里叶展开,周期为 2l 函数 f(x),伸缩,将 作傅氏展开并换元,f(x)的傅氏展开式,周期为 2 函数,定理：设周期为2l 的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在 f(x)的连续点处),证明,解,傅里叶(1768 1830),法国数学家.,他的著作热的解析
4、,理论(1822)是数学史上一部经典性,书中系统的运用了三角级数和,三角积分,他的学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分.,最卓越的工具.,以后以傅里叶著作为基础发展起来的,文献,他深信数学是解决实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展,都产生了深远的影响.,播放,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；
5、,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶
6、系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,5.傅氏级数的意义整体逼近,
