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1、1.2.1 充分条件与必要条件,问题提出,1命题的概念及其一般形式是什么？,概念：用语言、符号或式子表达的，可 以判断真假的陈述句,形式：“若p，则q”,2怎样理解四种命题的逻辑关系？,3四种命题之间的真假关系如何？,原命题与逆否命题同真同假；,原命题与逆命题(否命题)真假不确定,4某一天你和你妈妈在街上遇到老师，你向老师介绍说：“这是我妈”，此时你妈妈还会不会补充说：“他是我儿”？在数学中，“甲是乙的妈”与“乙是甲的儿”是一种什么逻辑关系？这是我们需要了解的问题,充分条件与必要条件,探究（一）：推断符号的含义,思考1:xa2b2与x2ab都不是命题，若以其中一个为条件另一个为结论可构成命题吗
2、？若能，其真假如何？,若xa2b2，则x2ab，是真命题；,若x2ab，则xa2b2，是假命题.,思考2：一般地，如果“若p，则q”为真命题，可理解为“由p可推出q”，记作“”如果“若p，则q”为假命题可怎样理解？用符号语言怎样表示？,由p不能推出q，记作“”,思考3：下列四个命题用推断符号分别怎样表示？若ab，则acbc；若ab，则acbc；若x0，则x20；若x1，则x0,（ab acbc）,（ab acbc）,（x0 x20）,（x1 x0）,探究(二)：充分条件与必要条件的含义,思考1：对于“x1 x0”，可以理解为当x1时能充分保证x0，在逻辑上，x1叫做x0的充分条件，同样，x0是
3、x20的充分条件，请再找出几个充分条件的实例.,思考2：一般地，怎样定义p是q的充分条件？,如果“”，则称p是q的充分条件.,思考3：如果“”，则称q是p的必要条件你能理解“必要”二字的含义吗？,要使p成立必须有q成立,思考4：从充分条件和必要条件的角度，怎样理解下列各组条件的关系？（1）ab0与a0；（2）x0与|x|x；（3）x2y2与xy0；（4）“甲是乙的父亲”与“甲的年龄比 乙大”.,思考5：一般地，若A是B的必要条件，如何用推断符号连接A、B？,探究(三)：充分条件与必要条件的拓展,思考1：已知p:x(0,1)，q:x(1，3)，则条件p与q之间的逻辑关系是什么？,p是q的充分条件
4、；q是p的必要条件.,思考2：设p表示某元素属于集合P，q表示该元素属于集合Q，如何用集合的观点理解p是q的充分条件？,p是q的充分条件：,思考3：若p是q的充分条件，则p是q的什么条件？,p是q的必要条件.,思考4：若p是q的必要条件，则p是q的什么条件？,p是q的充分条件.,思考5：若p不是q的充分条件，则q可能是p的必要条件吗？p可能是q的必要条件吗？,理论迁移,例1 下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？那些命题中的p是q的必要条件？（1）若x1，则x24x30；（2）若 x2y2，则xy；（3）若两个三角形的面积相等，则这两 个三角形全等；（4）若f(x)x，
5、则f(x)在R上为增函 数；（5）若x为无理数，则x2为无理数.,充分条件,必要条件,必要条件,充分条件,必要条件,例2 判断下列各组语句中，p是q的什么条件？（1）p：ab，q：a2b；（2）p：x2x0，q：x1；（3）p：x2，q：x22x0；（4）p：m3，q：方程x22xm0无实根.,充分条件,必要条件,必要条件,充分条件,1.用推断符号连接的两个语句是命题的简写形式，其中“”表示“若p，则q”为真命题；“”表示“若p，则q”为假命题.,小结作业,2.充分条件与必要条件是共存的，即如果p是q的充分条件，则q是p的必要条件；如果p是q的必要条件，则q是p的充分条件；如果p不是q的充分条
6、件，则q也不是p的必要条件.,作业：P10练习：1，2，3，4.,1.2.2 充要条件,问题提出,1.充分条件与必要条件的含义分别是什么？,如果“”，则称p是q的充分条件，且q是p的必要条件.,2.对于两个语句，p可能是q的充分条件，p也可能是q的必要条件，除此以外 p与q之间的逻辑关系还有哪些可能？,充要条件,探究（一）：充要条件的含义,思考1：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，那么p是q的什么条件？你还能举出类似的实例吗？,p既是q的充分条件，又是q的必要条件.,思考2：一般地，如果p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件，用推断符号怎
7、样表述？,若，则p是q的充要条件.,思考3：如果p是q的充要条件，那么q是p的什么条件？,若，则p与q互为充要条件.,思考4：如果p是q的充要条件，q是r的充要条件，那么p是r的什么条件？,p是r的充要条件,探究（二）：充分、必要条件的分类,思考1：下列各组语句中，p是q的什么条件？（1）p：a0，b0，q：ab0；（2）p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形；（3）p：|x|1，q：1x1；（4）p：ab，q：a2b2.,充分,必要,充要,既不充分也不必要,思考2：上述问题表明了p与q之间存在四种不同的逻辑关系，结合推断符号如何阐述这四种关系？,若，且，则p是q的充分不必要条件；,若，且
8、，则p是q的必要不充分条件；,若，且，则p是q的充要条件；,若，且，则p是q的既不充分也不必要条件.,思考3：如何从原命题和逆命题的真假性理解上述四种关系？,原命题为真逆命题为假；,原命题为假逆命题为真；,原命题、逆命题都为真；,原命题、逆命题都为假.,思考4：设集合Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q，如何用集合观点理解上述四种关系？,A是B的真子集；,B是A的真子集；,AB；,A与B互不包含.,理论迁移,例1 下列各题中，那些p是q的充要条件（1）p：b0，q：f(x)ax2bxc是偶函数；（2）p：x0,y0，q：xy0；（3）p：ab，q：acbc；（4）p：两直线平行；q：两直线的
9、斜率相等.,例2 已知：O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：dr是直线l与O相切的充要条件.,例3 求证|a|b|ab|的充要条件是ab0.,例4 设a为常数，求函数f(x)cos2xasin2x的图象关于直线 对称的充要条件.,1.p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要不充分条件或p是q的充要条件.,小结作业,2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性.,3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件.在判断p是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.,作业：P12练习：1，2.P13习题1.2B组：2.,
