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1、2023/9/24,1,新课引入,2023/9/24,2,2023/9/24,3,二、高斯公式(不讲),三、斯托克斯公式(不讲),四、格林公式高斯公式 斯托克斯公式之间的关系(不讲),五、小结与思考练习,一、格林公式,9.5 各类积分之间的关系,2023/9/24,4,一、格林公式,1.区域连通性的分类,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复(多)连通区域.,复连通区域,单连通区域,2023/9/24,5,2、格林公式,2023/9/24,6,（1）D可以是单连通区域也可以是复连通区域。,（2）边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总
2、在他的左边.,2023/9/24,7,G,F,2023/9/24,8,证明:(1),2023/9/24,9,同理可证,牛顿-莱布尼兹公式,2023/9/24,10,证明(2),两式相加得,2023/9/24,11,2023/9/24,12,G,F,证明(3),由(2)知,2023/9/24,13,2023/9/24,14,(1)计算平面面积,3、格林公式的应用举例,2023/9/24,15,例1 求椭圆,解:,2023/9/24,16,形的面积(图21-17).,2023/9/24,17,(2)简化二重积分,2023/9/24,18,2023/9/24,19,(3)简化曲线积分,2023/9/
3、24,20,2023/9/24,21,2023/9/24,22,2023/9/24,23,解:,2023/9/24,24,(注意格林公式的条件),2023/9/24,25,二、高斯公式,(Gauss Formula),2023/9/24,26,证明：,取下侧,取上侧,2023/9/24,27,根据三重积分的计算法,根据曲面积分的计算法,2023/9/24,28,同理,2023/9/24,29,-高斯公式,合并以上三式得：,由两类曲面积分之间的关系知,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,2023/9/24,30,2023/9/24,31,于是得
4、到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体,积的公式:,2023/9/24,32,例7.计算,其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧.,解 应用高斯公式,2023/9/24,33,于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体,积的公式:,2023/9/24,34,例8,2023/9/24,35,例9略.,计算,所围的空间区域的表面，方向取外侧.,解,其中 S 为锥面,与平面,2023/9/24,36,2023/9/24,37,P203例4,2023/9/24,38,设 S1 为上半球体的底面，,例10.,计算,的外侧.,解,其中 S 是上半球面,取下侧.,于是,P204作业题2(4
5、).,2023/9/24,39,解 由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式.,为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面,闭曲面.于是,练习 计算,上侧.,2023/9/24,40,而,因此,2023/9/24,41,先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下,规定:设有人站在 S 上指定的一侧,若沿 L 行走,指,定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线 L,的正向;若沿 L 行走,指定的侧总在人的右方,则人,前进的方向为边界线 L 的负向.这个规定也称为右,手法则,如图 22-9 所示.,三、斯托克斯公式,(Stokes formula),2023/9/24,42,2023
6、/9/24,43,2023/9/24,44,注意:,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,如果 S 是 xoy 坐标平面上的一块平面区域,2023/9/24,45,另一种形式,便于记忆形式，利用行列式记号把斯托克斯（Stokes)公式写成,2023/9/24,46,2023/9/24,47,以下略47-52,2023/9/24,48,解：,则,2023/9/24,49,即,2023/9/24,50,例 利用斯托克斯公式计算积分,其中 L 为平面 x+y+z=1 与各坐标面的交线，,解,取逆时针方向为正向如图所示.,记三角形ABC为 S,取上侧,则,2023/9/24,5
7、1,2023/9/24,52,例 利用斯托克斯公式计算积分,其中 L 为 y2+z2=1,x=y 所交的椭圆正向.,解,记以 L 为边界的椭圆面为 S,其方向按右手法则,确定，于是有,2023/9/24,53,2023/9/24,54,四、格林公式高斯公式斯托克斯公式 之间的关系,2023/9/24,55,内容小结,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3.格林公式的应用.,格林公式;,2023/9/24,56,4.高斯公式,5.斯托克斯公式,2023/9/24,57,德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、,级数、复
8、变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,高斯(17771855),2023/9/24,58,作业,习 题 9-5 P214 2(4);3;4(2);6(1),2023/9/24,59,1.若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,答：,由两部分组成,外边界：,内边界：,思考与练习,2023/9/24,60,2.设,且都取正向,问下列计算是否正确?,提示:,2023/9/24,61,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:添加辅助线如图,利用格林公式.,原式=,到点,3.设 C 为沿,2023/9/24,62,2023/9/24,63,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式,2023/9/24,64,2023/9/24,65,故所求积分为,
