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1、1,10.3 格林公式及其应用,小结 思考题 作业,格林(Green)公式,平面上曲线积分与路径无关的条件,全微分方程,第10章 曲线积分与曲面积分,2,1.区域连通性的分类,设D为平面区域,复连通区域,单连通区域,一、格林公式,否则称为,则称D为平面,复连通区域.,成的部分都属于D,如果D内任一闭曲线所围,单连通区域,3,定理10.4(格林公式),设闭区域D由分段光滑,的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有,连续偏导数,则有,2.格林公式,其中L是 D的取正向的边界曲线.,一阶,4,当观察者沿边界行走时,(1)P、Q在闭区域D上具有一阶连续偏导;,(2)曲线L是封闭的,并且取
2、正向.,注,规定,边界曲线L的正向.,区域D总在他的,左边.,格林公式,5,(1)先对简单区域证明:,证明,若区域D既是,又是,即平行于坐标轴的直线,和L至多交于两点.,6,同理可证,化为二次积分,化为第二类曲线积分,7,(2)再对一般区域证明:,若区域D由按段光滑,(如图),将D分成三个既是,又是,的区域,的闭曲线围成.,8,(L1,L2,L3对D来说为正方向),9,(3)对复连通区域证明:,若区域不止由一条闭曲线,所围成.,格林公式,且边界的方向对区,的曲线积分,右端应包括沿区域D的全部边界,域D来说都是正向.,对复连通区域D,(L1,L2,L3对D来说为正方向),10,(3)对复连通区域
3、证明:,由(2)知,若区域不止由一条闭曲线,添加直线段,则D的边界曲线由,及,构成.,所围成.,G,F,(L1,L2,L3对D来说为正方向),对复连通区域D,格林公式,且边界的方向对区,的曲线积分,右端应包括沿区域D的全部边界,域D来说都是正向.,11,便于记忆形式:,格林公式的实质,之间的联系.,沟通了沿闭曲线的积分与,二重积分,12,(1)计算平面的面积,3.简单应用,格林公式,得,闭区域D的面积,13,例 求椭圆,解,由公式,得,D,所围成的面积.,14,对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,比较简单时,常常考虑通过格林,公式化为二重积分来计算.,15,计算,L是圆周:,如把圆周写成参数方程:
4、,再将线积分化为定积分计算,用格林公式易求.,分析,则过程较麻烦.,解,由格林公式,(2)简化曲线积分的计算,例,16,其中L为圆周,解,由格林公式有,的正向.,练习,17,解,由格林公式,练习,18,例,计算,分析,但由,可知,非常简单.,A(a,0)到点O(0,0)的上半圆周,此积分路径,不是闭曲线!,19,为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单,使之构成,闭曲线.,所以,因而这里补加直线段,直线段.,通常是补充与坐标轴平行的,L不闭合+边L,使L+L闭合,再用格林公式.,由格林公式,解,的方程为,故,所以,20,练习,则曲线积分,设L为正向圆周,在
5、第一象限中的部分,的值为().,解,21,(3)二重积分化为线积分计算,则,解,令,例,为顶点的,格林公式,三角形闭区域.,22,解,记L所围成的闭区域为D,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为,例,令,有,逆时针方向.,23,即L为不包围原点的任一闭曲线.,即L为包围原点在内的任一,闭曲线.,由格林公式,应用由格林公式,得,作位于D内圆周,记D1由L和l所围成,24,所以,其中l 的方向取,逆时针方向,注意格林公式的条件,对复连通区域D,格林公式右端应包括沿,且边界的方向,区域D的全部边界的曲线积分,对区域D来说都是正向.,25,解,记L与l 围成的闭区域为D1.
6、,设L为圆周,在L内部作有向椭圆l:,顺时针方向.,例,l的方向为,而,格林公式,法一,26,所以,法二,D2是由l 所围区域,格林公式,27,研究生考题(数学一)(10分),已知平面区域,L为D的正向边界.,试证:,证,左边=,右边=,法一,(1),28,已知平面区域,L为D的正向边界.,试证:,证,(2),由于,故由(1)得,研究生考题(数学一)(10分),29,证,法二,(1),根据格林公式,得,左边=,右边=,因为D关于,对称,所以,研究生考题(数学一)(10分),已知平面区域,L为D的正向边界.,试证:,30,证,法二,由(1)知,研究生考题(数学一)(10分),已知平面区域,L为D
7、的正向边界.,试证:,31,B,如果在区域G内有,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,A,L1,L2,1.平面上曲线积分与路径无关的定义,否则与路径有关.,则称曲线积分,在G内,与路径无关,32,2.平面曲线积分与路径无关的条件,定理10.5,的各分量在区域D上有一阶连续偏导数,则以下三个,(1),对D中任意分段光滑的闭曲线L,总有,(2),曲线积分,在D内与,(3),在D内是某个二元,函数的全微分,即存在u(x,y),使得,路径无关;,设向量函数,命题等价：,33,证,定理中的三个条件互为充要条件.,证明方式,在D内与路径无关.,A,B,L1,L2,如图,在(1)的条件下,于是,34,由条件
8、(2),只需证,由偏导定义,在D内与路径无关,设A(x0,y0),B(x,y)是D内任意两点,35,于是,积分中值定理,P连续,同理可证,所以,36,不妨设封闭曲线,其参数方程为,都对应A点,则,易证,原函数.,化为定积分,37,推论10.1(曲线积分的基本定理),积分,区域G内的一个向量场,设向量函数,续,是平面,P(x,y)及Q(x,y)都在G内连,且存在一个数量函数f(x,y),使得,则曲线,在G内与路径无关,且,其中L为位于区域G内起点为A、终点为B的任意分,分段光滑曲线.,38,定理10.6,下两个命题等价：,(1),曲线积分,在D内与,(2),在D内恒成立.,路径无关;,的各分量在
9、单连通区域D上有一阶连续偏导数,设向量函数,则以,证,在D内任取一条闭曲线C,都有,格林公式,闭曲线C所包围的区域G完全位于D内,39,的连续性,在D内恒,可以得到,成立.,在D内任取一条闭曲线C,单连通的,因为D是,闭曲线C所包围的区域G完全位于D内,格林公式,所以,曲线积分与路径无关.,40,例,计算曲线积分,其中L是,的一段有向弧.,解,曲线积分与路径无关.,上述定理的简单应用：,(1)简化曲线积分,41,曲线积分与路径无关.,所以,可以用有向折线,代替有向弧L.,如图.,于是,42,解,原式=,曲线积分与路径无关.,例,43,考虑表达式,如果存在一个函数,使得,则称,并将,全微分式,为
10、一,原函数.,的原函数.,定理的简单应用：,44,由,例,可知:,都是,分别是上面的,原函数.,全微分式.,45,下面说明一般怎样,判断全微分式,求原函数,由定理,是一个全微分式,即,(1)判断全微分式,46,D(x0,y),或,则,(2)求原函数,47,例,用曲线积分求其一个原函数.,如是,解,在全平面成立,所以上式是全微分式.,因而一个原函数是：,全平面为单连通域,法一,(x,y),48,这个原函数也可用下法“分组”凑出:,法二,49,因为函数u满足,故,从而,所以,问 是否为全微分式?,用曲线积分求其一个原函数.,如是,由此得,y的待定函数,法三,50,解,积分与路径无关,设曲线积分,与
11、路径无关,具有连续的导数,即,练习,51,(1,0),设曲线积分,与路径无关,具有连续的导数,52,法二,设曲线积分,与路径无关,具有连续的导数,53,内具有一阶连续导数,L是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线,为(a,b),终点为(c,d).,记,(1)证明曲线积分I 与路径L无关;,(2)当ab=cd 时,求I 的值.,证,因为,所以在上半平面内曲线积分I 与路径L无关.,(1),例,其起点,54,解,(2),由于曲线积分I 与路径L无关,L是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线,起点(a,b),终点(c,d).,所以,(2)当ab=cd 时,求I 的值.,法一,55,解,(2),L
12、是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线,起点(a,b),终点(c,d).,(2)当ab=cd 时,求I 的值.,法二,设F(x)为f(x)的一个原函数,则,由此得,56,例,求解,有的微分方程可以由多元函数全微分的逆运,(是可分离、,解,将方程写成,因为左端是全微分式,所以方程变成,得通解,三、全微分方程,又是齐次方程),算解出.,57,1.定义,则,若有全微分形式,如,全微分方程或恰当方程,是全微分方程.,所以,全微分方程,58,2.解法,(1)应用曲线积分与路径无关;,通解为,(2)用直接凑全微分的方法;,全微分方程,(3)用不定积分的方法.,D(x0,y),因为,59,解,例,将方程整
13、理得,全微分方程,因为,(1)用曲线积分与路径无关,60,(2)凑微分法,原方程的通解为,61,(3)不定积分法,原方程的通解为,因为,所以,所以,所以,62,解,全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例,63,格林公式,四、小结,单(复)连通区域的概念,格林公式的应用,格林公式的实质,的联系.,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间,注意使用条件,与路径无关的等价命题,64,思考题,是非题,解,因为,故曲线积分与路径无关.,?,65,非,因为在定理10.6中,要求所考虑区域G是,且函数P(x,y),Q(x,y)及其偏导数在G上,对本题来说,当且仅当,导数连续,上述解法中点(0,0)在直线,从而,单连通的,连续,P、Q及其偏,不满足定理10.6的条件.,66,作 业,习题册,完全掌握课后题,
