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1、 4.4洛朗级数,1、双边幂级数,2、解析函数的洛朗展式,3、洛朗级数与泰勒级数的关系,4、将函数展成洛朗展式,5、典型例题,1、双边幂级数,定义 称级数,（）,为复常数，称,为双边幂级数（）的系数,为双边幂级数，其中,负幂项部分,非负蜜幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,f1(z),f2(z),f(z),收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:,R1,a,a,R,a,r,H,f(z)=f1(z)+f2(z,定理一(洛朗定理)在圆环H:r|z-a|R,(r0,R+)内解析的函数f(z)必可展成双边幂级数,其中,(4.4.3),(4.4.2),2
2、解析函数的洛朗展式,a,证(如图1)对zH,总可以找到含于H内的两个圆周,使得z含在圆环,z,图1,内，因为f(z)在圆环,上解析,由柯西积分公式有,或写成,(4.4.4),我们将上式中的两个积分表为含有z-a的(正或负)幂次的级数.,对于第一个积分,与泰勒定理证明中的相应部分相同,就得,(4.4.5),(4.4.6),类似地,对(4.4.4)的第二个积分,我们有,于是上式可以展成一致收敛的级数,沿1逐项求积分,两端同乘以,(4.4.7),(4.4.8),由(4.4.4),(4.4.5),(4.4.7)即得,回过头来考察系数(4.4.6)及(4.4.8),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周,有
3、,于是系数可统一表成(4.4.3).,因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(4.4.2)成立.,上一致收敛.乘以上的有界函数:,最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:,由定理知,它在圆周,故可逐项积分，得：,仍然一致收敛,利用重要积分公式，得：,定义2.(4.4.2)称为f(z)在点a的罗朗展式,(4.4.3)称为其系数,而(4.4.2)右边的级数则称为罗朗级数.,3、洛朗级数与泰勒级数的关系,泰勒级数是罗朗级数的特殊情形.,例1 判断,在下列区域内,能展成什么幂级数,4.将函数展称洛朗级数,常用方法:1.直接法 2.间接法,1.直接展开法,利用定理公式计算系数,然后
4、写出,缺点:计算往往很麻烦.,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.,优点:简捷,快速.,2.间接展开法,5、典型例题,例1,解,由定理知:,其中,故由柯西古萨基本定理知:,由高阶导数公式知:,另解,本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点,例2,内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,解,由,且仍有,此时,仍有,说明:,回答：不矛盾.,朗展开式是唯一的),问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?,(唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛,解,例3,例4,解,例5 求下列各积分的值：,解：（1）,内的洛朗展式为,由此可见,内的洛朗展式为,由此可见,小结与思考,在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.,洛朗级数与泰勒级数有何关系?,思考题,
