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1、第二章 复函数,1.解析函数,1.极限与连续性,单值函数：,对于 G 中的每个 z，有唯一的 w 与其对应。,多值函数：,至少存在一个 z0 属于 G，与 z0 对应的 w 有,两个或两个以上。,复变函数极限的定义,当,时，,当,时，,当,时，,设,则,当且仅当,证明,如果,则,使得当,时，,命题,所以,反之，若,则,当,时，,所以,当,时,连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数,连续函数的复合函数为连续函数,例,argz0,2.导数解析函数,定义,定义,在区域内解析,在一点解析,在闭区域上解析,如果一个函数在一个点可导，则它在这个点连续.,证明,设 f(z)在点 a 可导，则,注
2、解1“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；注解2 解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解3 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注解4 闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；,四则运算法则,复合函数求导法则,注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。,反函数求导法则,证明,因为,所以,Cauchy-Riemann 方程,问题,设,可微，,则,首先设 h 为实
3、数，,得,令,得,再令,t 为实数，,得,令,得,由,得,Cauchy-Riemann方程,例,在,处满足上述定理中的条件，但 f(z)在,不可微.,证明,C-R条件,证明,设,在点,处有导数,其中a 和 b为实数，,当,时，,其中,满足条件,注：,2.初等函数,实指数函数的性质,1.指数函数,指数函数的定义域的扩充,由于要求解析，所以利用柯西-黎曼条件，有,所以，,因此，,定义,称作复指数函数，,记作,复指数函数的性质：,注：,Euler公式,问题：,指数函数的几何性态,三角函数,由于Euler公式，对任何实数 y，我们有：,所以有,定义,三角函数的性质,（2）cosz是偶函数，sinz是奇
4、函数,证明,（3）cosz 和 sinz 是以 2 为周期的周期函数:,证明,证明,证明,定义,上述四个函数在各自的定义域内解析，且,定义,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,初等多值函数,1.幅角函数,单值分支.,连续单值分支.,上沿,下沿,思考题：,定义,设,是一个多值函数，,是,的任,意一个邻域,是,内任一绕,一周的简单闭曲线.,在,上取一点,我们从与,对应的多个值中取出一个与其对应，,设为,让点,从,出发，沿,绕,一周，回到,对应,的值从,连续变化为,如果,则称,为,的一个支点.,对数函数,定义,注意：由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为2的周期函数，所以对数函数必然是多值函数。,注意：,对数函数的基本性质,注：,问题：,对数函数的主值,相应于Argz的主值，我们定义Lnz的主值为：,连续单值分支.,对数函数的主值支.,支割线.,证明,注：,对数函数的映射性质,幂函数,定义,其中,应当理解为对它求导数的那个分支.,幂函数的映射性质,反三角函数,
