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1、二、齐次线性方程组,定理：齐次线性方程组有非零解,齐次线性方程组只有零解,推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数个数（mn），则它必有非零解。,推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是|A|0.,2 向量与向量组的线性组合,一、向量及其线性运算,1.定义：n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量。,如：,行向量（行矩阵）,列向量,（列矩阵）,2.一些特殊向量：,（1）零向量：所有分量都为零的向量；,（2）单位向量组：,（3）,的每一列,都是m维列向量；,而其
2、每一行,都是n维行向量。,1,n,2,（3）,故A可记为：,3.向量的线性运算：,向量的加法和数乘运算。,矩阵的加法和数乘运算。,线性方程组,4.线性方程组的向量表示：,可表示为,1,n,2,二、向量的线性组合,1.定义：给定向量组：1,2,s和向量，如果存在一组数k1,k2,ks,使得：=k11+k22+kss则称可由向量组1,2,s 线性表示(线性表出)；,又称是向量组1,2,s 的线性组合。,例：若,任一n维向量：,则可由向量组1,2,3线性表示为：,=2123,例 零向量可由任一向量组线性表示：,例 向量组1,2,s中的任一向量j都可由该向量组线性表示：,例 判断向量 能否表示为向量组
3、：的线性组合，若可以，写出表示式。,解：设,，即：,所以x1=2,x2=1，,即：=21+2.,判断向量能否用向量组1,2,s线性表示，等同于判断x11+x22+xss=是否有解。,线性方程组,2.定理：向量能用向量组1,2,s线性表示的充要条件是：,注：(1)r(1,2,s)=r(1,2,s,)=s时，表示式唯一；,(2)r(1,2,s)=r(1,2,s,)s时，表示式不唯一。,r(1,2,s)=r(1,2,s,),2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示。,三、向量组间的线性表示,1.定义：设有两向量组 A:1,2,s；B:1,
4、2,t若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。,若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。,(传递性）,3 向量组的线性相关性,一、线性相关性的概念,引例 齐次线性方程组Ax=O的向量形式为,显然，其必有零解。,(零向量可由任一向量组线性表示),其是否有非零解等同于是否存在一组不全为零的数 k1,k2,kn,使得：,我们关心其是否有非零解？,1.定义：对于向量组:1,2,s，如果存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使得：k11+k22+kss=O则称向量组1,2,s 线性相关；,如果当且仅当k1=k2=ks=0时上式才成立，则称向量组
5、1,2,s 线性无关。,例 1=(1,1)T,2=(2,2)T,线性相关。,212=O,例 n维单位向量组,线性无关。,若,则：,例 一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关；,例 证明：若1,2线性无关，则1+2,12也线性无关。,n维向量组:1,2,s线性相关等同于齐次线性方程组,二、向量组线性相关性的一些判定定理,x11+x22+xss=O,1.定理1：n维向量组:1,2,s线性相关,r(1,2,s)s,注：向量组:1,2,s线性无关,r(1,2,s)=s,有非零解。,推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数个数，则它必有非零解。,2.推论1：向量个数大于维向量维数时，向量组线性相
6、关。,推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是|A|0.,对齐次线性方程组，我们有以下结论：,所以对向量，我们相应有：,3.推论2：n个n维向量组:1,2,n线性相关,|1,2,n|=0,线性无关,|1,2,n|0.,向量维数,向量个数,例 讨论 的线性相关性。,解：,所以r(1,2,3)=2,3，,从而1,2,3线性相关。,注：也可通过计算 得出结论。,4.定理2：如果向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。,分析：,k11+k22+krr=O,若存在一组不全为零的数k1,k2,kr，使得：,rs,则：,k11+k22+k
7、rr+0r+1+0s=O,5.推论3：线性无关向量组中任何一部分组皆线性无关。,（部分相关，则整体相关）,（整体无关，则部分无关）,例 含有零向量的向量组线性相关。,或：零向量线性相关,01+02+0s+1O=O,（部分相关，则整体相关）,练习：判断以下向量组是否线性相关。,1.1=(1,2,3)T,2=(0,4,5)T,3=(0,0,6)T,2.1=(1,1,1)T,2=(3,2,3)T,3=(4,3,4)T,3.1=(1,2,3)T,2=(2,3,4)T,3=(3,4,5)T,3=(4,5,6)T,4.1=(1,0,0,2,5)T,2=(0,1,1,3,4)T,3=(0,0,0,0,0)T,练习：,1.=(1,1,1)T,=(1,3,0)T,=(2,4,1)T,试将表示为,的线性组合。,=,2.讨论1=(1,2,1)T,2=(4,1,5)T,3=(2,1,1)T 的线性相关性。,线性相关,3.若1,2,3线性无关，讨论12,23,31的线性相关性。,线性相关,4.课本96页第7题。,
