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1、第三节 偏导数与全微分,3.1 偏导数,定义3.1,例1,例2,3.2 高阶偏导数,例3,例4,例5,定义 3.2,3.3 全微分,如果函数f在区域D内处处可微，则称f为区域D内可微函数。,由于自变量的微分等于自变量的改变量,即,从而全微分可写成,可微,连续和可偏导,可微,可偏导,例6,才能保证全微分存在，且,定理3.3（充分条件）,由定义知，f 在M点可微。,例7,例8,例 9 设二元函数,问在(0,0)处，f(x,y)的偏导数是否存在？偏导数是否连续？f(x,y)是否可微？,解：,同样,时,所以在一点可微，在此点 偏导数不一定连续。,f 的偏导数连续,f 可微,f 的偏导数存在(可导),f
2、 连续,几个概念之间的关系见下图：,与一元函数类似，多元函数的微分运算法则：,设f(x,y),g(x,y)是可微函数，则：,多元函数的全微分也可用于近似计算与误差估计。,习题5.3(P2223),作 业,1.(3)(5)(6)(8)；2.(2)(3);3(2);4.(3)(4);5(2);6;10;13.,第四节 微分运算法则,4.1 复合函数微分法,定理4.1,故多元函数有如下链式求导法则：,按线相乘,分线相加,几种特殊的情形：,左端 表示复合后对x的偏导数,右端 表示复合前对x的偏导数,例1,例2,例3,例4,例5,例6,例7,例8,推广到n元函数,一阶微分形式的不变性:,由一阶微分形式不
3、变性得：,例3,4.2 隐函数微分法,定理4.2(隐函数存在定理),可推广到多元函数：,定理4.1,例9,公式法,法二：,直接法,法三：,在等式两边求全微分得：,全微分法,例10,例11,由方程组确定的隐函数微分法,例12,习题5.4(P3436),作 业,1.(2),2.(3),3.(2),5,6.(2),7.(5)(6),9,10.(2),11.(1),14,15.(1)(2),16.(2),5.1 方向导数,第五节 方向导数与梯度,定义5.1,定理5.1,定义5.1与定理5.1可推广到n元函数。,例1,5.2 梯度,可推广到n元函数。,有了梯度的概念，方向导数可表示为：,例2,梯度是一个向量，其方向指向函数在该点处增大最快的方向，其模等于这个最大的方向导数的值。沿梯度的反方向，函数减小最快。,梯度的意义：,梯度的运算法则。,习题5.5(P4041),作 业,1.(2)2.3.4.5.(2),
