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1、4 旋转曲面的面积,面积公式：,如果光滑曲线C由参数方程 x=x(t)y=y(t),t，面积公式：那么，它是怎样推导出来的呢？,回顾,曲边梯形求面积的问题（分割 近似求和 取极限）,一、问题的提出,面积表示为定积分的步骤如下,（3）求和，得A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,提示,微元法的一般步骤：,这个方法通常叫做微元法,微元法是指通过从分析事物的极小部分入手,达到使事物的整体问题得以解决的一种方法.运用微元法,在一定的条件下可以把变化的、运动的、物理规律不适用的整体对象或整体过程转化为不变的、静止的、物理规律适用的元对象或元过程,即变为理想的对象或过程.微元法可以是把研究物体取微元部分
2、进行分析,也可以是把研究过程取微元阶段进行分析.微元法的基本数学工具是有关近似、极限、数列知识以及几何、三角中的知识。微元法是把求累加量问题转化为定积分计算的简化,它省却了分微段、近似求和等过程,直接由微元累积导出积分,如图 曲线c：y=f(x),x（a,b）垂直点x 与x+x的平面的截面侧面积,所以有,由 f(x)的连续性,例一 计算圆 在 上的弧段绕 x轴旋转所得球的面积。解：,二 微元法的应用方向：,经济学(经济函数最大小值问题，广告策略问题，资本现值和投资问题等）物理学（功；水压力；引力和平均值等）几何学（立体的面积，体积；曲线的弧长.）电子学（微元法的高精度系统响应矩阵建模），,1
3、利用微元法计算资本现值和投资,解 由已知条件收入率为a=2000(万元),年利率r=5%,故无限期的投资的总收入的贴现,例 有一个大型投资项目,投资成本为A=10000(万元),投资年利率为5%,每年的均匀收入率为a=2000(万元),求该投资为无限期时的纯收入的贴现值(或称为投资的资本价值).,从而投资为无限期时的纯收入贴现为 R=y-A=40000-10000=30000(万元)=3（亿元）,例2:一闸门呈倒置的等腰梯形垂直地位于水中,两底的长度分别为4m 和6m,高为6m,当闸门上底正好位于水面时,求闸门一侧受到的水压力(水的密度为10 kg/m3)。,选取坐标系如图2 所示,则AB 的
4、方程为y=-x/6+3 取x为积变变量,在 它的积分区间 0,6上任取微小区间 x,x+dx,在水下深为x m处的压强为9.8x kN/m2,因此在代表区间相应的一小窄条上所受的压力微元为,2 微元法在物理上的应用,在0,6上积分得,3 用微元法建立微分方程,例3 边长a 为的方桌四角处各有(雌雄相间的)小虫一只,它们以相同速度按逆时针方向爬向它邻近的小虫,求虫们的爬行路线所满足的微分方程。,解 以方桌的对角线为坐标轴,中心在原点,不妨设第一只虫子在x 轴正向,第二只在y 轴正向上。由于爬行速度v 一样及位置的对称性,四只虫子的轨迹是全等形,所以只讨论第一只虫子所满足的微分方程。假设在t 时刻,第一只虫子位于点P(x,y),第二只虫子位于Q(x 2,y 2)。给时间t 一个微小的增量dt,第一只虫子的变量x,y 相应地取得增量dx,dy。由于dt 甚小,认为第一只虫子在该时间段 t,t+dt 内在PQ 连线上运动了vdt,取,由于按逆时针旋转90度 第一只虫子与第二只虫子的轨迹重合,则,该两式相比,得 显然，第一只虫子的轨迹满足,4 利用微元法简化对曲面积分的 计算,利用微元法把面积微元转化为两个变量微分之积，根据球面、柱面坐标系与直角坐标之间的关系，对面积的曲面积分 计算方便快捷，效果较好。,微元法的提出、思想、步骤.,三、小结,微元法的实质是“和式”的极限.,
