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1、第二章 布尔开关代数,计算机学院余 波,Content,二进制逻辑函数,1,开关代数,2,假,真,0和1不表示数量的大小，而是表示完全对立的两种状态；“1”表示条件具备或者事情发生；“0”表示条件不具备或者事情没有发生。,概述在数字系统中，通常用逻辑真和逻辑假状态来区分事物的两种对立的状态；逻辑真状态用1表示；逻辑假状态用0来表示。1和0分别叫做逻辑真假状态的值。0、1只有逻辑上的含义，已不表示数量上的大小；布尔代数是一种数学系统；布尔方程（开关方程）：以变量与逻辑操作描述的表达式,以两个不同确定范围的电位与逻辑真、假两个逻辑状态对应。这两个不同范围的电位称作逻辑电平，把其中一个相对电位较高者
2、称为逻辑高电平，简称高电平，用H表示。而相对较低者称为逻辑低电平，简称低电平，用L表示。,状态赋值：数字电路中，经常用符号1和0表示高电平和低电平。我们把用符号1、0表示输入、输出电平高低的过程叫做状态赋值。正逻辑：在状态赋值时，如果用1表示高电平，用0表示低电平，则称为正逻辑赋值，简称正逻辑。负逻辑：在状态赋值时，如果用0表示高电平，用1表示低电平，则称为负逻辑赋值，简称负逻辑。,二进制逻辑运算,二进制逻辑运算基本逻辑运算逻辑与逻辑或逻辑非实现这三种逻辑运算的电路，称作基本逻辑门。,逻辑与（乘）运算（AND Gate）文字描述：只有决定一件事情的全部条件具备之后，结果才能发生，这种因果关系为
3、“逻辑与”或“逻辑乘”。逻辑电路如图所示照明电路，开关x、y合上作为条件，灯s亮为结果，只有两个开关全合上时，灯才会亮，否则灯不亮。灯和开关之间符合与逻辑关系。,真值表,开关合上：1开关断开：0灯亮：1灯灭：0,逻辑与（乘）运算 表达式：s=x y;s=x*y;s=(x)(y)多输入变量的表示p=xyz;t=wxyz与逻辑功能可记成：“有0为0，全1为1”与运算规则：00=0；01=0；10=0；11=1.x0=0；x1=x；0 x=0；1x=x.,“与”门不同形状逻辑符号,逻辑或（加）运算(OR Gate)文字描述：决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，结果就会发生，这种因
4、果关系称为“或逻辑”，也称“逻辑加”。逻辑电路如图所示为两个开关并联的照明电路。只要有一个或一个以上（二个）开关闭合，灯就会亮。只有开关都断开时，灯灭。灯亮和开关之间的关系是“或逻辑”关系。,开关合上：1开关断开：0灯亮：1灯灭：0,真值表,逻辑或（加）运算 表达式：s=x+y 或逻辑功能可记成：“有1为1，全0为0”或运算规则：0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1.x+0=x；x+1=1；0+x=x；x+x=x.,“或”门不同形状逻辑符号,注意：逻辑运算与二进制运算的区别！,逻辑非运算 文字描述：条件具备时结果不发生，条件不具备时结果反而发生，这种因果关系是逻辑非。非也称为取反。逻
5、辑电路如图所示照明电路，开关x合上时灯灭；开关x断开时灯亮。开关合上这一条件具备时灯亮这一结果不发生。满足“非”逻辑关系。,开关合上：1开关断开：0灯亮：1灯灭：0,真值表,逻辑非运算 表达式：非运算规则：,“非”门不同形状逻辑符号,其他逻辑与非（NAND）或非（NOR）异或（EX-OR）异或非（EX-NOR）,与非运算 表达式：真值表,与非门不同形状逻辑符号,或非运算 表达式：真值表,或非门不同形状逻辑符号,异或运算 表达式：真值表,异或门不同形状逻辑符号,同或（异或非）运算 表达式：真值表,同或门不同形状逻辑符号,IEEE 逻辑符号,IEEE 逻辑符号:,表示功能的名字或符号,输出变量,输
6、入变量,IEEE 逻辑符号,IEEE 逻辑符号,思考？能否用与非、或非等较复杂逻辑门实现“与”、“或”、“非”？,对相同逻辑函数的不同描绘方式,1,开关方程按一定逻辑规律进行运算，其中的变量是二元值的逻辑变量。,2,真值表采用一种表格来表示逻辑函数的运算关系。,3,逻辑图采用规定的图形符号，来构成逻辑函数运算关系的网络图形,例：三人就某一提议进行表决，请画出该问题的逻辑图表达。解：step1:问题描述设输入变量A、B、C代表三人，F代表表决结果，两人以上同意者为1（表示通过），否则为0。A、B、C：同意为1，不同意为0。F：通过为1，不通过为0。,step2:构造真值表step3:写出逻辑函数
7、找出那些使函数值为1的变量取值组合,逻辑图表示法,Step4：画出逻辑图,Content,功能完全操作集,3,集合在某方面具有相似性质的项的总和例：,相等如果x,y的值相同，则称x,y相等(equivalent)。e.g.X=0 Y=0 X=1 Y=1,X=Y,X=Y,封闭对二进制运算(,+)是封闭的，在操作数是集合成员时，结果也是集合的成员。如果操作数产生的结果不在原来的集合中，则称没有封闭的性质。例：与运算真值表或运算真值表,单位每个二进制运算有一个单位元素，称为Ie；Ie必须包含在二进制数集合中；Ie和变量x进行与操作时结果为x，Ie和变量x进行或操作时结果为xx Ie=x x+Ie=x
8、Ie不改变元素的值。,交换律（Commutative Properties）X+Y=Y+XXY=YX结合律（Associative Properties）(X+Y)+Z=X+(Y+Z)(XY)Z=X(YZ)分配律（Distributive Properties）X+(YZ)=(X+Y)(X+Z)X(Y+Z)=XY+XZ,互补律（Complement Properties）X+X=1 XX=00-1律X+0=X X1=XX+1=1 X0=0吸收律（Absorption Properties）X+XY=X X(X+Y)=XX+XY=X+Y X(X+Y)=XY,对偶律 将逻辑函数s中的“”换成“”，
9、“”换成“”(注意省略的“”号)；“0”换成“1”，“1”换成“0”；即可求得s的对偶式若两个逻辑函数相等，则它们的对偶式也相等;反之亦然。例：求下列逻辑函数的对偶式：,反演规则将逻辑函数中变+，+变成（注意省略的“”号）；1变成0，0变成1;原变量变成反变量,反变量变成原变量;即得到原逻辑函数的反函数。反演规则常用于从已知原函数求出其反函数。,利用反演规则时须注意以下两点：仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算顺序。不属于单个变量上的长非号，在利用反演规则时应保持不变，而长非号下的变量及和号符号仍按反演规则处理。,例：求下列逻辑函数的反函数：,德.摩根定理“与”运算的取反等于输入变量取反的
10、“或”运算“或”运算的取反等于输入变量取反的“与”运算,代入规则 在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之一个函数，则等式仍然成立。这个规则叫代入规则。例：等式若用ab=x代替x，则根据代入规则，等式仍成立，即,利用代入规则，可以将基本公式推广为多变量的形式，扩大公式的使用范围,证明等幂律(Idempotence Property):X+X=X XX=X,0-1律,互补律,分配律,证明吸收律(Absorption property),0-1律,分配律,0-1律,互补律,分配律,证明：,分配律,证明合并律,分配律,互补律,证明德摩根定律(DeMorgan Properties
11、),将变量：x、y的各种取值组合分别代入等式，其结果如下表所示，等号两边的逻辑值完全对应相等，则说明该公式成立。,证明德摩根定律(DeMorgan Properties),例：利用德.摩根定理求出 G=xy+xz 的等价式。解：1.令 A=xy，B=xz，G=A+B，对该式应用德.摩根定理G=(AB)2.分别对A,B应用德.摩根定理有：A=(x+y),B=(x+z),因此，G=(x+y)(x+z),应用了双重否定律,例：利用摩根定理求出 F=x(y+z)的等价式.解：1.令A=(y+z)2.F=xA，应用摩根定理有F=x+A=x+(y+z)=(x+y+z)3.再次应用摩根定理 F=(x+y+z
12、)=xyz,练习：对下列表达式使用德.摩根定理:,Content,功能完全操作集,功能完全操作集（Functionally Complete Operation Sets)一组逻辑函数集，能实现所有的组合逻辑表达式FC1=与(AND),非(OR),或(NOT)FC2=或非(NOR)FC3=与非(NAND)FC4=异或(EXOR),与(AND),FC2=或非或非门实现反向器(x+0)=x(x+x)=x或非门实现与(x+y)=xy或非门实现或(x+y)=x+y,FC3=与非与非门实现反向器(x 1)=x(x x)=x与非门实现与(xy)=xy与非门实现或(xy)=x+y,FC4=异或，与用异或门实
13、现反向器x=1x用异或门，与门实现或x+y=xyxy,Content,为什么要进行化简？,目的：降低电路开销,使用尽可能少的门，实现给定表达式的功能。,例：用布尔代数化简下面的表达式F=AB+A(B+C)+B(B+C)解：step1：对第二、三项应用分配律：F=AB+AB+AC+BB+BC step2：对第一、二项及第四项应用重叠律 F=AB+AC+B+BC step3：对第三、四项应用吸收律 F=AB+AC+B=AB+B+AC step4：对第一、二项应用吸收律 F=B+AC,例：用布尔代数化简下面的表达式：S=A(B+C)(BC)解：step1:对(B+C)及(BC)应用德.摩根定理S=A
14、(B C)(B+C)step2:对B应用双重否定律S=A(BC)(B+C)step3:应用分配律S=A(BCB+BCC),step4:应用交换律S=A(BBC+BCC)step5:应用互补律和重叠律S=A(0C+BC)step6:应用0-1律S=A(BC)step7:应用分配律S=ABC,例：化简下面的逻辑表达式,德摩根定律,也可利用反演规则直接得出,分配律,幂等律,吸收律,合并律,练习：化简下面的布尔表达式,等幂律,互补律,德摩根定律,吸收律,合并律,互补律,Content,画出逻辑图,对相同函数的不同描述方式开关方程真值表逻辑图设计逻辑问题通常采用的步骤,逻辑表达式,构造真值表,问题描述,开关函数到逻辑图的转换列出所需的输入变量用反相器对输入变量求反获得所需的反变量把逻辑表达式中相应的运算用门电路的符号来代替,将下面的开关方程用逻辑图表示T=ab+ab,分析步骤,分析逻辑图的逻辑功能（与设计逻辑问题相反）写输出逻辑表达式：根据给定逻辑电路，由输入输出或由输出输入，逐级推导，写出输出函数的表达式。简化逻辑表达式：根据需要，将表达式化成最简式。列真值表：将各种可能输入信号取值组合代入表达式，求出真值表，得出逻辑关系。确定逻辑功能：根据函数表达式或真值表判断电路的逻辑功能。,例：分析下面逻辑图的逻辑功能,列出真值表,真值表,译码器,作业:24,27,28提交时间：3月25日,
