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1、第一章 行列式与矩阵,行列式是代数学中一个重要的工具，利用它可以用来判断一个n阶矩阵是否可逆；可以导出一个矩阵的逆矩阵公式以及著名的克拉姆法则。这一章我们先给出二、三阶行列式的定义，在此基础上归纳出一般n阶行列式的定义，然后讨论行列式的基本性质及其应用。,1.1 行列式及其性质,在数学发展史上，行列式是通过解线性方程组的求解而引出的，以二元线性方程组,的求解为例,为了消去未知数x2,两式分别乘以,定义1,（+）,（-）,(2.1)式中横写的叫行,竖写的叫列,其中的数称为行列式的元素如 为二阶行列式的第一行第二列的元素.,二阶行列式的运算规则:,定义2,三阶行列式有3行3列,32个元素,其右端的
2、算式由3!个项组成,其中每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,所有乘积项前所带的符号为正负号各半.(即各为 项),与二阶行列式相似,它可以由一个很简单的规则来说明,这就是三阶行列式的对角线法则,即如下所示,实对角线上三个元素之乘积前冠以正号,虚对角线上三个元素之乘积前冠以负号,再把这些乘积加起来,就得到(1.2)式.,(+),(+),(+),(-),(-),(-),(1.3),上述三阶行列式的值,也可以表示为,我们来分析一下(1.4)式:首先(1.4)式右端的三项是D3中第一行的三个元素 分别乘一个二阶行列式,而使乘的二阶行列式是划去该元素所在的行与所在的列所组成;其次,每一项之前都要乘
3、以,1和j正好是 的行标和列标.,按照这一规律,我们可以用三阶行列式定义出四阶行列式.以此类推,我们可以给出n阶行列式的定义.,定义3,这种利用低阶行列式逐次地给出高一阶行列式的定义的方法,称为递归(推)定义法,定义4,为了简化上述定义中的展开式的书写,我们引入代数余子式的概念.,定义5,称 的代数余子式,由上述定义5,(1.5)式可以表达为,解:,一般地,按照行列式的递推(归)定义来计算n阶行列式,通常是很繁琐的.因此我们有必要来研究行列式的性质,利用这一些性质可使行列式的计算简化.,行列式的性质,记,性质 1,行列式与它的转置行列式相等,意义：,行列式中的行与列具有同等的地位；,.例如,证
4、明思想：,仍然是从定义出发证，祥略。,如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,为什么？,.例如,性质 2,将行列式的两行(列)对调,行列式变号,推论,性质 3(展开法则),行列式等于它的任意一行(列)中所,有元素与它们对应的代数余子式乘积之和.即,推论,行列式中任一行(列)中元素与另一行(列)对应元素的,代数余子式乘积之和等于零,即,证:由性质3按第j行展开得到,ri,rj,性质 4,行列式的某一行(列)元素的公因子可提到行列式外面,即,例如:,证:,推论,行列式的某一行(列)元素的全为零,则此行列式为零.,行列式的某两行(列)对应元素成比例,则此行列式为零.,推论,性质5,若行列式
5、的第i行(列)元素的每一个元素都可以表示为两数的和,则该行列式可以表示为两行列式之和,即,这并不是唯一的分拆方法！,性质6,把行列式的第j行(列)元素的k倍加到第i行(列)的对应元素上,行列式的值不变.,例 计算行列式,运算符号：,交换行列式两行（列），记作,行列式第i行（列）乘以数k，记作,以数k乘行列式第i行（列）加到第j行（列）上，记作,例 计算行列式,解:第二行乘以-1加到其它各行上去可得,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,小结,行列式的6个性质,
