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1、第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移10.2 扭转问题的薄膜比拟10.3 椭圆截面杆的扭转10.4 矩形截面杆的扭转,学习指导,扭转问题是空间问题中的一个专门问题。扭转问题的理论，是从空间问题的基本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立起来的。扭转问题的应力函数(x，y)，仍然是二维问题。,柱体扭转圆柱扭转：平面假设非圆截面扭转：横截面发生翘曲柱体扭转精确求解是十分困难的！,第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,等直非圆杆扭转：横截面翘曲纯扭转（自由扭转）：端面可以自由翘曲（翘曲不受限制）。相邻截面翘
2、曲的程度完全相同，横截面上只有切应力，没有正应力。约束扭转：两端受到约束而不能自由翘曲（翘曲受到限制）。相邻截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加正应力。,弹性力学讨论自由扭转。,第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,设有等直截面杆，体力可以不计，在两端平面内受有大小相等而转向相反的扭矩M。取杆的一端平面为xy面，z轴沿着杆的纵向。,第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,设有等直截面杆，体力可以不计，在两端平面内受有大小相等而转向相反的扭矩M。取杆的一端平面为xy面，z轴沿着杆的纵向。,用半逆解法。参考材料力学中对于圆截面杆的解答，这里假设：除了横截面上
3、的剪应力zx和zy（即扭应力）以外，其余应力分量都等于零，即：,(10-1）,1、求应力分量和位移分量：,第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,1、求应力分量和位移分量：,(a）,第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,(10-2）,(10-3）,2 考察边界条件：,(1),第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,(10-4）,讨论：,(10-2）,第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,静力等效,(2),(10-2）,第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,静力等效,(2),第十章 等截面直杆的扭转,
4、10.1 扭转问题的应力和位移,(10-5）,(10-2）,第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,现在推导有关位移的公式。将应力分量的表达式(10-1)及(10-2)代入物理方程（8-17)，得：,第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,通过积分运算，可求得位移分量：,(10-6）,用柱坐标系表示，即：,可见，每个横截面在xy面上的投影不改变形状，只是转动一个角度Kz。由此又可见，杆的单位长度内的扭转角满足：,第十章 等截面直杆的扭转,10.1 扭转问题的应力和位移,(10-7）,(10-8）,(1
5、0-3）,(10-9）,10.2 扭转问题的薄膜比拟,第十章 等截面直杆的扭转,德国力学家 Prantle,普朗都指出，薄膜在均匀压力作用下的垂度，与等直截面杆扭转问题中的应力函数，在数学上相似。用薄膜来比拟扭杆，可以有助于求得扭转问题的解答.,10.2 扭转问题的薄膜比拟,当薄膜承受微小的均匀压力时，薄膜的各点将发生微小的垂度。以边界所在的水平面为xy面，则垂度为z。由于薄模的柔性，可以假定它不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，而只能承受均匀拉力T（好像液膜的表面张力）。,均匀薄膜，张在一个水平边界上（上图所示）条件：,水平边界形状和大小扭转杆的横截面边界,第十章 等截面直杆的扭转,10.2 扭转
6、问题的薄膜比拟,第十章 等截面直杆的扭转,(10-10),此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即,(10-11),10.2 扭转问题的薄膜比拟,第十章 等截面直杆的扭转,薄膜问题与扭转问题比较：,扭转问题,薄膜问题,结论：,10.2 扭转问题的薄膜比拟,第十章 等截面直杆的扭转,薄膜问题与扭转问题比较：,结论：,10.2 扭转问题的薄膜比拟,第十章 等截面直杆的扭转,薄膜问题与扭转问题比较：,10.2 扭转问题的薄膜比拟,第十章 等截面直杆的扭转,10.2 扭转问题的薄膜比拟,第十章 等截面直杆的扭转,薄膜曲面可以形象地描述横截面的扭转应力分布。,薄膜的等高线：,切应力方向沿薄膜等高线切线,切
7、应力与等高线法线方向导数成正比。,切应力与等高线相切。,切应力线。,10.3 椭圆截面杆的扭转,第十章 等截面直杆的扭转,等截面直杆，它的横截面具有一个椭圆边界，椭圆的半轴是a和b。,(a),10.3 椭圆截面杆的扭转,等截面直杆，它的横截面具有一个椭圆边界，椭圆的半轴是a和b。,(a),由于应力函数在横截面的边界上应当等于零，所以假设应力函数为：,(b),其中m是一个常数，然后考察，是否满足一切条件。,第十章 等截面直杆的扭转,A,10.3 椭圆截面杆的扭转,第十章 等截面直杆的扭转,(10-5）,(d）,10.3 椭圆截面杆的扭转,第十章 等截面直杆的扭转,由材料力学知：,(e）,(f）,
8、(10-2）,(10-12）,10.3 椭圆截面杆的扭转,第十章 等截面直杆的扭转,该应力函数满足了所有一切条件。,(10-12）,(10-13）,10.3 椭圆截面杆的扭转,第十章 等截面直杆的扭转,假想有一块薄膜，张在椭圆边界上，受均匀压力，则，显然可见，薄膜的最大斜率将发生在?，而方向垂直于边界。根据薄膜比拟，扭杆横截面上最大的切应力也发生在A点和B点，但方向平行于边界。将A点和B点的坐标(0,b)代入（10-13），得出：,(10-9）,(10-15）,10.3 椭圆截面杆的扭转,第十章 等截面直杆的扭转,(10-17）,10.3 椭圆截面杆的扭转,第十章 等截面直杆的扭转,10.4
9、矩形截面杆的扭转,分析矩形截面杆的扭转，设矩形的边长为a及b。,(10-3）,积分,第十章 等截面直杆的扭转,(10-5）,(10-5）,(10-18）,(10-19）,10.4 矩形截面杆的扭转,第十章 等截面直杆的扭转,(10-9）,(10-20）,(d）,(e）,(f),10.4 矩形截面杆的扭转,第十章 等截面直杆的扭转,分析任意矩形截面杆（a/b）为任意数值。,并满足边界条件：,(e）,(f),10.4 矩形截面杆的扭转,第十章 等截面直杆的扭转,分析任意矩形截面杆（a/b）为任意数值。,求解参见有关参考书（不讲）。,10.4 矩形截面杆的扭转,第十章 等截面直杆的扭转,薄壁构件的扭转：,薄壁杆的横截面是由等宽度的狭长矩形组成。,一个弯的狭长矩形组成可以用一个等宽度的直矩形截面代替，而不致引起很大的误差。,开口薄壁杆件,横截面由等宽度的狭长矩形组成,8.5 开口薄壁杆2,8.5 开口薄壁杆3,应力集中长边中点切应力给出了相当精确的解答 局部切应力 局部tmax与圆弧半径r与狭长矩形的短边di的比值有关,8.5 开口薄壁杆4,
