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1、第五讲 概率分布正态分布,1.1 正态分布的概念和函数1.2 正态分布曲线的特征1.3 正态曲线的标化1.4 曲线下面积的分布规律1.5 正态分布在医学中的应用,【典型案例分析】,举例：随机调查某医院1402例待分娩孕妇，测得她们的体重，试述其体重频数分布的特征。,引子：,表5-1 某医院1402例分娩孕妇体重频数分布,作图:以体重测量值为横轴，以频率与组距的比值为纵轴作出直方图。,1.由于该直方图的纵轴表示在每个组段内单位长度所占有的频率，相当于频率密度，因此将此图称为频率密度图。,图5-1 体重频率密度图,2.面积=频率由于频率的总和为1，所以该曲线下横轴上的面积为1。.,若将各直条顶端的
2、中点顺次连接起来，得一条折线。当样本量n越来越大时，折线就越来越接近一条光滑的曲线。,图5-1 体重频率密度图,图5-2 概率密度曲线示意图,推 断：测得一个孕妇体重在54-68kg的概率有多大？孕妇体重在哪个范围内算是正常的呢？,故对连续性随机变量而言：变量某区间取值的概率=正态曲线该变量区间的面积,一、正态分布的概念和密度函数,正态分布(normal distribution)：是描述连续型随机变量最重要的分布。其分布曲线叫正态分布曲线，呈中间高，两边低，左右基本对称的“钟型”曲线，近似于数学上的正态分布，又称高斯分布（Gauss distribution）。,正态分布(normal di
3、stribution),德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布(Gauss distribution)。,德莫佛,高 斯,10马克的钱币,医学研究中许多正常人的生理，生化指标、测量误差等多呈正态分布或近似正态分布。许多非正态分布资料，当样本含量足够大时，也可以用正态分布作为它的极限分布形式。有时也可将非正态分布资料转化为正态分布来处理。,正态分布在医学研究中的重要作用：,医学研究中：,正态分布的密度函数，即正态曲线的函数表达式：,式中，为总体均数，为总体标准差，为圆周率，e为自然对数的底，仅x为变
4、量。当x确定后，f(x)为X相应的纵坐标高度，则X服从参数为和2的正态分布（normal distribution)，记作XN（，2）。,二、正态分布曲线的特征,（一）正态分布的两个参数：,和 是正态分布的两个参数，和决定了x的概率分布；习惯上用 N(,2)表示均数为，标准差为的正态分布。,当给定不同的 x 值后，就可以根据此方程求得相应的纵坐标高度（频数），并可绘制出正态曲线的图形，记作XN(,2)：,正态分布曲线：高峰位于中间，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的“钟型”曲线。,当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动，所以叫正态曲线N（,
5、2）的位置参数，。,1.位置参数：,图5-4 正态分布位置随参数变换示意图,2.形状参数：,图5-6 正态分布形态随参数变换示意图,当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭，叫正态曲线N（,2）的形状参数。,（二）正态分布图形的特征：,1.对称性：关于x=对称,2.集中性：正态曲线在横轴上方，当x=时,f(x)取最大值，即均数位于曲线的最高处。,3.对频率密度正态分布图，横轴上曲线下的面积为1。,4.是正态曲线的位置参数，决定曲线在横轴上的位置；增大曲线沿横轴向右移，减小曲线沿横轴向左移。,5.是正态曲线的形状参数，越大数据越分散，曲线越“矮胖”，越小数据越集中，曲线越“瘦高”。,三、
6、正态曲线的标准化,为了应用方便，常将正态概率函数中的 x 作如下变量代换，令：Z称为标准正态变量。把u代入概率密度函数，得标准正态分布的概率密度函数：相对于正态变量 x，Z 没有度量单位。根据 u 的不同取值，可绘出标准正态分布的图形。,任意正态分布曲线 XN(,2),标准正态分布曲线XN(0,1),将一般正态分布曲线的 的位置平移到原点，再以标准差为横轴单位，这样就把原来个别的正态分布转换为一般的标准正态分布 N（0，1），亦称为Z分布（或 分布）。,四、正态曲线下面积的分布规律,正态曲线下的面积分布有一定的规律性：,因正态曲线下累计频数的总和等于 100%或 1，则：横轴上曲线下的面积（概
7、率）就等于 100%或 1；均数两侧的面积（概率）各占 50%。,实际工作中常需了解横轴上某一区间曲线下面积占总面积的百分比，以便估计该区间的频数占总频数的百分比（即频数分布情况）。这就需要采用定积分的办法，对函数式(1)或(2)定积分，算得从-到 x，或从-到 Z 的累计面积（概率）。.,图 6 正态分布(左)及标准正态曲线下(右)的累计面积,由于引入了标准正态变量 Z 值，只需对标准正态公式求定积分，求其曲线下从-到任意Z 值的累计面积，并制成专用的 Z 值表（见附表）；这样对于其它任意的正态分布N(,2)，都可以通过变量代换转化为标准正态分布，通过查表就完成其概率计算问题。,1.左半侧
8、Z 值对应面积的查法：,1.标准正态分布区间（-1，1）的面积占总面积的68.26%2.标准正态分布区间（-1.96，1.96）的面积占总面积的95%3.标准正态分布区间（-2.58，2.58）的面积占总面积的99%,标准正态分布曲线下面积规律,举例：当 Z=-1.96时，左侧的累计面积=0.025（该区间累计频数占总例数的 2.5%），记作 P(Z1.96)=0.025。当 Z=1.96时，左侧累计面积为 0.975，可记作 P(Z1.96)=0.975，此时P(Z1.96)=0.025。,2.左半侧Z 值对应面积的查法：标准正态分布是以 0 为中心左右对称，所以该表只计算曲线下一半的面积即
9、可。,举例：求 Z=-0.5-1.5之间的面积。查表找出 Z=-0.5 时的对应面积为 0.3085，再查出 Z=-1.5 时的对应面积 0.0668，相减即可。即：P(Z=-0.5-1.5)=P(Z=-0.5)-P(Z=-1.5)=0.3085-0.0668=0.2417,3.查任意两个 Z 值间的面积：,（1）曲线下横轴上的总面积为100%（2）表中曲线下面积为(-，Z)（3）标准正态曲线下的面积以0为对称，即,如区间(-，-1.96)与区间(1.96，+)的面积相等。,小结:,F(Z)=1-F(-Z),对标准正态分布曲线,4.求一般正态分布N(,2)曲线下的面积：,先求 u 值：,根据
10、Z 值在表中查出相应的面积值,当总体均数和总体标准差未知时，就用样本均数和样本标准差来代替计算。,所以对正态分布或近似正态分布资料，只要求出均数和标准差，便可就其频数分布作出概略估计了。,举例：已知 120 名 12 岁男孩身高均数为 143 cm，标准差为 5.8 cm，试估计该地 12 岁男孩身高在 135 cm 以下者有多少人？,答：1.首先计算 Z 值：,3.据概率计算人数：身高在 135 cm 以下者有：1208.38%=10人,2.查 Z 值表：当 u=-1.38 时，左侧尾部面积 0.0838，即身高在 135cm 以下者占总人数的 8.38%。,常用的正态分布、标准正态分布曲线
11、下面积规律,四、正态分布在医学中的应用,（一）制定医学参考值范围,参考值范围（reference range)：指所谓“正常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围。,制定方法：制定参考值范围时，首先要确定一批样本含量足够大的“正常人”。所谓“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群，必须是随机选择的大样本。而后根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，常用95%。.,单侧临界值：标准正态分布单侧尾部面积等于时所对应的正侧变量值，记作Z。,双侧临界值：标准正态分布双侧尾部面积之和等于时所对应的正侧变量值，记作Z/2。,以
12、不同的方法计算参考值范围：,（1）正态分布法：适用于正态或近似正态分布资料,表5-2 常用参考值范围的制定,举例1：调查某地120名健康女性血红蛋白，直方图显示其分布近似正态，试估计该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围。,解析：,1.分布近似正态,2.过高过低均为异常,3.求上、下界值,上界：,下界：,所以，该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围是（97.41,137.39）g/l。,举例2：某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通气量得均数 X=4.2(L),标准差S=0.7(L)，试据此估计其第一秒肺通气量的95%参考值范围。,解析：,1.分布近似正态,2.仅过低为异常,3.求下界值,下
13、界：,所以，该地健康成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围为不低于3.05（L）。,（2）百分位法：特别适用于偏态分布资料以及资料 中一端或两端无确切数值的资料。,如95%参考值范围：,计算公式：,举例：定出生体重低于2500g的婴儿为低体重儿，若由某项研究得某地婴儿出生体重均数为3200g，标准差为350g，估计当年出生低体重儿所占的比例。,（二）估计频数分布,解析：,2.转化为标准正态分布，求u 值,查u值表,说明标准正态曲线下(-，-2）的面积为2.28%，故本题正态曲线(-，2500g）的比例为2.28%，即X2500g的为2.28%，故估计当年出生低体重儿的比例为2.28%。,估计
14、频数分布：,a b,即：估计变量在（a,b）区间出现的比例或者说频率,（三）进行质量控制,基本原理：许多临床检验指标，当影响某一指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用均不太大时，这个指标的随机波动属于随机误差，则往往服从正态分布。,控制方法：常以 作为上下警戒值，以 作为上下控制值。这里的2s和3s可视为1.96s和2.58s的约数。,作为质量控制的上下警戒值：,（四）正态分布是许多统计方法的理论基础,t 分布、F 分布、分布都是在正态分布的基础上推导出来的，u 检验也是以正态分布为基础的。二项分布、Poisson分布的极限为正态分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。,选择题1.正态
15、分布的两个参数与，对应的正态曲线平行右移。增大 B.减小 C.增大 D.减小 E.增大同时增大,2.正态分布曲线下右侧5对应的分位点为 A.+1.96 B.-1.96 C.+2.58 D.+1.64 E.-2.58,是非题 对称分布与正态分布等价。,计算题 1.某地抽查120份黄连中小蘖碱含量（mg/100g)得平均数为4.38，标准差为0.18，假设数据服从正态分布，问：（1）95%黄连样品中小蘖碱含量在什么范围？（2）有一份黄连样品，小蘖碱含量为4.80，怎样评价？,答案:,根据公式,另（）/0.18=2.331.96,所以可认为小蘖碱含量不正常。,某地1998年抽样调查了100名18岁男
16、大学生身高，其均数=172.70cm，标准差=4.01 cm。（1）估计该地18岁男大学生身高在168 cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；（2）估计该地18岁男大学生身高在177 cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数。,答案:,查附表得，(u)=0.1210，即该地18岁男大学生身高在168 cm以下者占该地18岁男大学生总数的12.10%。,查附表得，(-1.07)=0.1423,则(u)=1-(-1.07)=1-0.1423=0.8577 即该地18岁男大学生身高在177 cm以下者占该地18岁男大学生总数的85.77%。,计算题,2.已知某地正常成年女子的血清总蛋白数服从正态分布，调查了该地110名正常成年女子，得样本血清总蛋白均数为72.8g/L，标准差为3.8g/L，试估计该地正常成年女子血清总蛋白介于66.075.0 g/L之间的比例，以及110名正常成年女子中血清总蛋白介于66.075.0 g/L之间的人数。.,解析：由于本例是大样本，可用样本均数X和样本标准差 S 作为总体、的估计值，即将该地正常成年女子的血清总蛋白数近似看作服从N（72.8,3.82）的正态分布。1.将变量作如下标准化变换：,2.查 u 值表得：,THANK YOU!,
