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1、高级社会统计学,闵学勤 ,第二部分 离散型概率分布,第一节 二项分布一、二项分布的定义 二项分布是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布，也叫贝努里分布。 二项分布的具体定义是：设有n次试验，各次试验是彼此独立的，每次试验某事件出现的概率都是p，某事件不出现的概率都是q（等于1-P），则对于某事件出现X次（0，1，2， n）的概率分布为：,第二部分 离散型概率分布,第一节 二项分布二、二项分布的讨论1、二项分布为离散型分布。当独立试验次数为n时，二项分布共有n+1个取值。除了用分布律表示二项分布外，还可用折线图来表示。P117,第二部分 离散型概率分布,第一节 二项分布二、二项分布的讨论,
2、第二部分 离散型概率分布,第一节 二项分布二、二项分布的讨论2、n和p是二项分布的两个参数。q值永远等于1-p。因此二项分布三个参数：n，p，q实际只要知道n和p两个参数就够了。3、二项分布的图形当 时是对称的。当时是非对称的，而当n愈大时非对称性愈不明显。,第二部分 离散型概率分布,第一节 二项分布二、二项分布的讨论4、二项分布的数学期望 ，变异数5、二项分布的概率值，除了根据公式直接进行计算外，还可利用查表求得。(P473，附表2）,第二部分 离散型概率分布,第一节 二项分布三、二项分布的概率1、事件至多出现m次的概率为：2、事件至少出现m次的概率为：,第二部分 离散型概率分布,第一节 二
3、项分布三、二项分布的概率3、事件出现次数不少于a，不大于b的概率为：4、根据事件的完备性，必然有：,第二部分 离散型概率分布,第一节 二项分布例1，根据生命表，年龄为60岁的人，可望活到下年的概率为p=0.95。设某单位年龄为60岁的人共有十人。问：1）其中有九人活到下年的概率为多少；2）至少有九人活到下年的概率是多少？解：1）根据二项分布，其中有九人活到下年的概率为：2）至少有九人活到下年的概率为：,第二部分 离散型概率分布,第一节 二项分布习题1： 某社区老年人口的比例为10%，设随机抽查六位居民。问：1）其中有两名为老年人的概率是多少？2）至少有两名为老年人的概率是多少？答案：1）0.0
4、98； 2)0.114,第二部分 离散型概率分布,第一节 二项分布习题2： 某地区回族占全体居民人数的6%，今随机抽取十名，问其中恰有两名是回族的概率是多少答案：0.099,第二部分 离散型概率分布,第二节 超几何分布 在社会抽样调查中，只有在大群体的情况下，二项分布的独立试验要求才能近似地得到满足（二项分布要求每次试验彼此独立）。 如果研究对象是小群体，那么每次试验之间独立的可能性较小，也即不满足二项分布的独立试验条件。而超几何分布就适用于小群体研究。,第二部分 离散型概率分布,第二节 超几何分布例：设小组共有成员十名，其中男性共七名，现从中任抽三名，问其中男性人数的概率分布如何？解：根据题
5、意有：总数N=10人，男性人数M=7人， 女性人数F=3人任抽三名中含男性人数共有四种情况：X=0（0男；3女） X=1（1男；2女）X=2（2男；1女） X=3（3男；0女）,第二部分 离散型概率分布,第二节 超几何分布（续）由古典法可求得,第二部分 离散型概率分布,第二节 超几何分布（续）合并起来，任抽三人男性人数的概率分布为：,第二部分 离散型概率分布,第二节 超几何分布一、超几何分布的定义 对小群体而言，总体性共分两类：A类与非A类。总体总数为N，A类共有M个。设从中任抽n个 ，则n中含有A类个数X的概率分布为：,第二部分 离散型概率分布,第二节 超几何分布一、超几何分布的定义例：某班
6、共有学员三十名，其中音乐爱好者有十三名，问任抽五名，其中音乐爱好者人数的概率分布。解：设X=“抽样中音乐爱好者的人数”，根据题意，代入超几何分布公式：,第二部分 离散型概率分布,第二节 超几何分布二、超几何分布的数学期望与方差如果 ，则,第二部分 离散型概率分布,第二节 超几何分布三、超几何分布与二项分布的关系 超几何分布适合小群体研究，但如果群体规模逐渐增大，以致抽样个体间的概率改变可以忽略不计，这时也可采用二项分布来讨论。且两种分布计算的结果应该是逐渐接近。即：,第二部分 离散型概率分布,第二节 超几何分布三、超几何分布与二项分布的关系例：某班共有学员三十名，其中音乐爱好者有十三名，问任抽
7、五名，其中音乐爱好者有两人的概率。（分别用二项分布和超几何分布计算）解：,第二部分 离散型概率分布,第二节 超几何分布习题： 某公司共有四十名员工，其中女性十名。今任抽五名进行访问，问被访中至少有四名女性的概率是多少？解：,第二部分 离散型概率分布,第三节 泊松分布（Poisson distribution) 在二项分布 中，如果n值很大，且p又很小，那么运算就相当麻烦，因此有必要研究当n很大时，二项分布的极限分布是什么。 当n很大，且p又极小，设,第二部分 离散型概率分布,第三节 泊松分布（Poisson distribution)一、泊松分布的公式 泊松分布是二项分布的极限分布，但它只有一
8、个参数 ，只要知道了 值，泊松分布就被确定了。,第二部分 离散型概率分布,第三节 泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质1、泊松分布为离散型随机变量的概率分布。它的取值x为零和一切正整数值。2、泊松分布的数学期望和方差都为 ，特别是参数 就是数学期望这一点，常作为经验性的确定泊松分布参数 的方法。,第二部分 离散型概率分布,第三节 泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质例：设在填写居民证1000张卡片中共发现错字300个。问每张居民证出现错字数的概率分布如何？解：设X=“每张居民证出现错字数”，将参数 近似地认为是每张平均的错字数
9、，即代入泊松公布公式就可算出X=0，1，2，的概率分布,第二部分 离散型概率分布,第三节 泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质（续）也可查泊松分布表（P477，附表3）P（X=0）=0.7408P（X=1）=0.2222P（X=2）=0.0333P（X=3）=0.0033P（X=4）=0.0002P（X=5）=0.0000,第二部分 离散型概率分布,第三节 泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质3、泊松分布图形是非对称的，但随着 的增加，图形将变得接近对称。(详见P134，图4.5)4、虽然泊松分布是二项分布的极限分布，但当 ，
10、 时，泊松分布与二项分布的近似程度就很好，即，,第二部分 离散型概率分布,第三节 泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质例，某地区，每年平均每2000所房子有1所毁于火灾，如果在这个地区有3600所房子，在一年时间内恰好有5所房子毁于火灾的概率是多少？解：,第二部分 离散型概率分布,第三节 泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质5、在下列情况下，泊松分布也可近似替代超几何分布： 即：泊松分布有现成的附表可查，故比较方便。,第二部分 离散型概率分布,第三节 泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质例，设
11、某校有1000名大学生，其中有外国留学生10名，现从该校大学生中任抽20人，求刚好抽到1名外国留学生的概率。解：,第二部分 离散型概率分布,第三节 泊松分布（Poisson distribution)二、泊松分布的性质6、泊松分布适合稀少事件的研究，也就是适合p值都是很小的情况。在社会研究中，包括像交通事故流、自杀流等都属于稀少事件。经典案例：P136，例16,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布（Normal distribution） 如果说二项分布是离散型随机变量最具典型意义的概率分布，那么连续型随机变量最具典型意义的概率分布就是正态分布了。18世纪，正态分布（又称常态分布或高斯分布）
12、由德国数学家高斯在研究误差理论时发现。,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布 在现实生活中，如人的身高、体重、一片森林的高度、学生成绩、人的智商、测量的误差、甚至公共入口门槛的磨损、海浪的高度等等随机变量，都服从正态分布。正态分布除了在现实生活中大量存在外，还由于任何变量，不管其原有分布如何，如果把它们n个加在一起，当n大于一定数之后，例如大于30，那么其和的分布必然接近正态分布。这就是有名的中心极限定理。,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布 可以说，在各种分布中，正态分布居于首要的地位。这是因为：1，许多自然现象与社会现象，都可用正态分布加以叙述；2，不少离散型随机变量与连续型随机变量
13、的概率分布都以正态分布为其极限分布（即当样本相当大时，可用正态分布近似）；3，许多统计量的抽样分布呈正态分布，故参数估计与假设检验经常都以正态分布为理论基础。,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布例，以下是一百人初婚年龄的统计：,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布,如果组越分越细，并且纵轴采用频率密度（频率/组距），直方图就转化为概率密度曲线,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(一)正态分布的特征1，一个高峰： 曲线是单峰，有一个最高点；2，一个对称轴：曲线在高峰处有一个对称轴，在轴的左右两边是对称的。对称轴是3，一个渐近线。曲线无论向左或向右延伸，都愈来愈接近横轴，但不会与横轴相交
14、，以横轴为渐近线。4，由于正态曲线是单峰对称的，因此它的众值、中位值和均值三者必然是重叠的。,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(二)正态分布的概率密度表达式 从正态分布的数学表达式可看出， 和 是正态分布曲线的两个参数。,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(二)正态分布的概率密度表达式两个参数对正态分布曲线的影响：1， 在 处达到峰值，在处有拐点，且以直线 为对称。在 一定情况下，若 增大，图形右移， 减小，则图形左移。2，当 不变的情况下， 越小，则对应的图形越尖瘦。事实上， 即为正态分布曲线的数学期望或总体均值，而 是其标准差。,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(三)正态曲
15、线下的面积 为了形象的理解正态曲线下面积所代表的涵义。我们可以把正态曲线看做是一种极限的直方图，而正态曲线下的面积实际就是无数个小直方形拼接而成的，即：,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(三)正态曲线下的面积(P144,图5.9)1，变量取值在区间 之间的概率：2，变量取值在区间 之间的概率：3，变量取值在区间 之间的概率：,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(三)正态曲线下的面积,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(四)标准正态分布 在已知正态分布的两个参数的前提下，可通过积分计算两点间的概率（面积），太麻烦，为此须计算出现成的表供使用者查找。但由于正态分布随两个参数的变化而变
16、化，故先将变量值标准化： Z称作x的标准分,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(四)标准正态分布 根据Z值所得的分布称为标准正态分布，它的概率密度为：而如果用 代入,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(四)标准正态分布 所以标准正态分布 可看作一般正态分布的一个特例，即 的正态分布，记作 ，而一般正态分布记作 标准正态分布（附表4）的对应式：,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(四)标准正态分布例，如果 服从标准正态分布N（0，1），求答：,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(四)标准正态分布例,已知 ,1)求 答:2)求 答:3)求 答:4)求 答:,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(四)标准正态分布例，如果 ，求满足解：,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(四)标准正态分布例，设随机变量服从正态分布 ，试求解：,第三部分 连续型概率分布,一、正态分布(四)标准正态分布例，根据统计，北京市初婚年龄服从正态分布。其均值为25岁，标准差为5岁，问25岁到30岁之间结婚的人，其百分数是多少？解：,第三部分 连续型概率分布,习题：1、答案：0.0139，0.72622、答案：1.65；1.96；2.58,
