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1、第五章二维随机变量及其分布,第一节二维随机变量及其分布函数第二节二维离散型随机变量第三节二维连续型随机变量第四节边缘分布第五节随机变量的独立性,第一节二维随机变量及其分布函数,一、二维随机变量如果由两个变量所组成的有序数组（），它的取值是随着试验结果而确定的，则称（）为二维随机变量，称（）的取值规律为二维分布。,二维随机变量的分布函数,二、二维随机变量的分布函数设()是二维随机变量，()R2,则称F(x,y)=Px,y为()的分布函数，或与的联合分布函数。,分布函数的性质,三、分布函数的性质（1）对于任意x,y R，有0F(x,y)1。（2）F(x,y)关于x（或y）单调不减。（3）F(x,y
2、)关于x（或y）右连续。（4）F(-,-)0，F(+,+)1 F(-,y)0，F(x,-)0（5）对于任意x1x2，y1y2有P(x1x2,y1y2)=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1),例题1,例题1设()的联合分布函数为F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)，其中x,yR。求常数A，B，C。解：,back,第二节二维离散型随机变量,二维离散型随机变量如果二维随机变量()所有可能取的数组是有限或可列的，并且以确定的概率取各个不同的数组，则称()为二元离散型随机变量。,()分布律,()的联合分布律,设()的所有可能取值为(xi,yj)，
3、其中i,j=1,2,称为()的联合概率分布，也简称概率分布。（1）0Pij1（2）ij Pij=1,例题2,例题2一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。以,分别记第一次和第二次取得的球上标有的数字。求（1）(,)的分布律（2）P()解:(1),back,P(=1,=1)=,P(=1,=2)=,P(=1)P(=1|=1)=0,P(=1)P(=2|=1)=1/3。,例题2一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能
4、性相同。以,分别记第一次和第二次取得的球上标有的数字。求（1）(,)的分布律（2）P()解:(2),back,P(),=P(=1,=1)+P(=2,=1)+P(=2,=2)=2/3,第三节二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量设()的分布函数为F(x,y),若存在非负可积函数f(x,y)，使得对于任意实数 x,y 有则称()为二维连续型随机变量，f(x,y)为()的联合概率密度函数（联合密度函数)。,联合密度函数性质,二、联合密度函数性质,例题3,例题31.设()的联合概率密度为求（1）常数C（2）P()解：（1）,例题3续,C=8,例题31.设()的联合概率密度为求（1）常数C（2）P(
5、)解：（2）,例题3续,例题3续2.设(，)的联合概率密度为求（1）常数k解（1）,(2),（3）F(x,y)=P(x,y),三、常见二维连续型随机变量分布1.二维均匀分布如果()的联合概率密度为其中G是平面上某个区域，则称()U(G)。,二维正态分布,2.二维正态分布如果()的联合概率密度为则称()N(1,12;2,22;)，其中1,20，-1 1。,例题4,例题4()U(G)，G=0yx，0 x 1 求（1）f(x,y)（2）P(2)（3）()在平面上的落点到y 轴距离小于0.3的概率。解：（1）,back,例题4()U(G)，G=0yx，0 x 1 求（1）f(x,y)（2）P(2)（3
6、）()在平面上的落点到y 轴距离小于0.3的概率。解：（2）,back,例题4()U(G)，G=0yx，0 x 1 求（1）f(x,y)（2）P(2)（3）()在平面上的落点到y 轴距离小于0.3的概率。解：（3）,back,第四节边缘分布,一、边缘分布函数设F(x,y)为()的联合分布函数，关于的边缘分布函数P(x)=P(x,+)=F(x),其中xR关于的边缘分布函数P(y)=P(+,y)=F(y),其中yR,例题5,例题5设()的联合分布函数为求F(x)和F(y)。解：,边缘分布律,二、（离散型）边缘分布律设()的联合分布律为P(=xi,=yj)=Pij（i,j=1,2,）关于的边缘分布律
7、P(=xi)=P(=xi,+)=jPij=Pi.关于的边缘分布律P(=yj)=P(+,=yj)=iPij=P.j,例题6,例题6箱子装有10件产品，其中2件为次品。每次从中任取一件产品（不放回），共取2次。求（1）()的联合分布律（2）关于的边缘分布律解：（1）,例题6箱子装有10件产品，其中2件为次品。每次从中任取一件产品（不放回），共取2次。求（1）()的联合分布律（2）关于的边缘分布律解:(2),边缘密度函数,8/10,2/10,三、（连续型）边缘密度函数设()的联合概率密度为f(x,y)，关于的边缘分布函数关于的边缘密度函数,例题7,例题71.()U(G)，G0 x1,|y|x,求（1
8、）f(x,y)（2）f(x)（3）f(y)解：（1）,back,例题71.()U(G)，G0 x1,|y|x,求（1）f(x,y)（2）f(x)（3）f(y)解：（2）,back,例题71.()U(G)，G0 x1,|y|x,求（1）f(x,y)（2）f(x)（3）f(y)解：（3）,back,例题72.()N(1,2,12,22;)，则（1）f(x)N(1,12)（2）f(y）N(2,22)解：略,back,一、随机变量的独立性（二维）r.v.，如果对于任意的x和y，P(x,y)=P(x）P（y)，即，F(x,y)=F(x)F(y)，则称和独立。离散型：和独立Pij=Pi Pj(i,j=1,
9、)连续型：和独立f(x,y)=f(x)f(y),例题8,第五节随机变量的独立性,例题81.（）的联合分布律证明与独立。证明：,因为Pij=Pi.*P.j，所以与独立,例题8续2.（）的联合分布函数为证明与独立。证明：,例题8续,所以与独立,3.（）的联合概率密度函数为试判断与是否独立。解：,所以与独立,二、随机变量的独立性（n维）1.(1,n)的联合分布函数F(x1,xn)=P(1 x1,n xn)。2.i的边缘分布函数Fi(xi)=P(i xi)。3.若F(x1,xn)F1(x1)Fn(xn)，则1,n 相互独立。若1,n 相互独立，P(1=x1,n=xn)=P(1=x1)P(n=xn)f(x1,xn)f1(x1)fn(xn)。,总结,总结续,back,
