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1、第十七章 勾股定理,17.1 勾股定理（第二课时）,即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。,如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,1.勾股定理,新课导入,2.有两种特殊的直角三角形，已知一边可以求另外两边长,a=5cm时,求b=？c=？,c=6cm时,求b=？a=？,如：6、8、10；9、12、15 10、24、26；15、36、39,3.勾股小常识：勾股数又名毕氏三元数.勾股数就是可以 构成一个直角三角形三边的一组正整数,（1）基本勾股数如：大家一定要熟记,（2）如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，,探究新知,长度的计算,如图所示
2、，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索?,应用勾股定理解决实际问题，首先需要构造直角三角形，把问题转化为已知两边求直角三角形中第三边的问题.然后确定好直角边和斜边，根据勾股定理a2b2=c2求出待求的线段长度，即三角形的边长.勾股定理在生活中有广泛应用，例如长度，高度，距离，面积，体积等问题都可以利用勾股定理来解答.,【点评】,解：在RtABC中，根据勾股定理，得 AC2=AB2+BC2=12+22=5AC=2.24AC大于木板的宽2.2 m，木板能从门框内通过,A,B,C,D,1 m,2 m,例1:一个门框的尺寸如图所示，一块
3、长3 m，宽2.2 m的长 方形薄木板能否从门框内通过？为什么？,例2:如图，一架2.6m长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？,解：可以看出，BD=ODOB.在RtAOB中，根据勾股定理，得OB2=AB2OA2=2.622.42=1，OB=1.在RtCOD中，根据勾股定理，得OD2=CD2OC2=2.62(2.4-0.5)2=3.15，OD=1.77，,BD=ODOB1.771=0.77，梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也向外移0.5m，而是外移约0.77m.,例2:如图，一架2.6m长的梯子AB
4、 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？,1.如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m,AC=20m,求A,B两点间的距离（结果取整数）,解：在RtABC中，根据勾股定理，得,答：AB两点间的距离约为57m.,练一练,解：A(5,0)和B(0,4)，OA=5，OB=4，在RtAOB中，根据勾股定理，得这两点之间的距离是.,2.如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和 B（0，4），求这两点之间的距离.,实际问题,几何模型,数学问题,勾股定理,画图,【点评】,生活中的一些实际问题常
5、常通过构建数学模型(直角三角形)来求解，勾股定理在生活中应用面广，建立的模型有时并不是已知两边求第三边，而只是告诉了其中的一些关系，一般可设未知数，用未知数表示它们之间的关系，然后根据勾股定理列方程解决问题,1由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断(如图)，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前(不包括树根)的高度是()A8m B10mC16m D18m,C,巩固提升,4,2如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了_步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草,3.今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何
6、？,解：设AB=x,则AC=x+1，在RtABC中，根据勾股定理，得AB2+BC2=AC2，即：x2+52=(x+1)2，解得：x=12，所以x+113.答：水深12尺,葭长13尺.,葭ji：初生的芦苇,1丈10尺,7,4.如图，在高3米，斜边长为5米的楼梯的表面铺地毯，地毯的长度至少为_米,A,5.如图是一个圆柱饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A12a13 B12a15C5a12 D5a13,6.如图，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子底端B与墙脚C的距离为0.7米
7、，如果梯子 滑动后停在DE的位置，测得BD长为0.8米，则梯 子顶端A下滑了()A0.4米 B0.3米 C0.5米 D0.2米,A,7.(中考安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另 一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树 梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行()A8米 B10米 C12米 D14米,B,我怎么走会最近呢?,例3有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少?(的值取3),探究新知,最短距离的计算,高12cm,B,A,长18cm(的值取3),AB2=92+122=81+144=22
8、5=,AB=15(cm),蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.,152,把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。,【点评】,例4 如图所示的长方体的高为4 cm，底面是长为5 cm，宽 为3 cm的长方形一只蚂蚁从顶点A出 发沿长方体的表面爬到顶点B.求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一 条棱)的最长路程,（1）蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据“两 点之间，线段最短”去探求，而与顶点A，B相关的两个面展开共有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程（2）最长路线
9、应该是依次经过长为5cm，4cm，5cm，4cm，3cm，4cm，5 cm的棱,导引：,（1）将长方体与顶点A，B相关的两个面展开，共有三 种方式，如图所示若蚂蚁沿侧面爬行，如图，则爬行的最短路程为 若蚂蚁沿侧面和上面爬行，如图，,解：,则爬行的最短路程分别为 因为 4 3，所以蚂蚁经过的最短路程是 cm.（2）545434530(cm)，所以蚂蚁沿着棱 爬行的最长路程是30 cm.,几何体的表面上两点间的最短路程问题的解决方法是将几何体表面展开，即将立体问题转化为平面问题，然后利用“两点之间，线段最短”去确定路线，最后利用勾股定理计算,【点评】,1.(2015东营)如图，一只蚂蚁沿着棱长为2
10、的正方 体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它 运动的路径是最短的，则AC的长为_,练一练,2.如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成33个小正方形其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用_秒钟,解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线,（1）展开前面右面由勾股定理得 AB=cm,（2）展开底面右面由勾股定理得 AB=5 cm,所以最短路径长为5cm，用时最少：52=2.5秒,3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两
11、个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？,A,B,A,B,55,10,6,解：,C,如图，将台阶展开,AC=(10+6)3=48,BC=55,三角形ABC为直角三角形,AB=,答：最短路线是73cm,3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？,1.运用勾股定理解决实际问题,关键在于“找”到合适的 直角三角形.,2.在运用勾股定理
12、时，我们必须首先明确哪两条边是直角 边，哪一条是斜边.,3.数学来源与生活，同时又服务于我们的生活.数学就在 我们的身边，我们要能够学以致用.,课堂小结,3.勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的重要特征，应用勾股定理可以求出直角三角形中的直角边或者 斜边的长度，在实际应用中要注意：,（1）勾股定理的应用是以直角三角形存在(或容易构 造直角三角形)为基础；,（2）表示直角三角形边长的a,b,c不是固定不变的，c 不一定是斜边的长.,4.在直线上找一点，使其到直线同侧的两点的距离之 和最短的方法：先找到其中一个点关于这条直线的 对称点，连接对称点与另一个点的线段与该直线的 交点即为所找的点，对称点与另一个点的线段长就 是最短距离之和以连接对称点与另一个点的线段 为斜边，构造出一个两条直角边已知的直角三角形，然后利用勾股定理即可求出最短距离之和,
