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1、第22课 变化率与导数、导数的计算,1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y=c，y=x,y=x2,的导数.4.能利用给出的基本函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.,1.导数的概念与运算是导数的基本内容，是学好导数的基础，在高考中每年必考，一般不单独命题，而与导数的应用同时考查.2.导数的几何意义是高考考查的重点内容，常与解析几何的知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式考查，有时也会出现在解答题中.,导数的概念及运算1.(2010江西高考)若f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2，则f(-1)=()(A)-4(B)-2(C)2(D)4,【
2、解析】选B.因为f(x)=4ax3+2bx,所以f(1)=4a+2b，即4a+2b=2,故f(-1)=-(4a+2b)=-2,选B.【方法技巧】利用导函数的奇偶性求导数值当函数式中含有多个参数，而又不能求出参数时，可利用导函数的奇偶性求出对称变量的导数值.,导数的几何意义高考指数:2.(2011山东高考)曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()(A)-9(B)-3(C)9(D)15【解题指南】本题先求导，再由导数意义求切线方程，最后求切线与y轴交点的纵坐标.,【解析】选C.因为y=3x2,切点为P(1，12)，所以切线的斜率为3，故切线方程为3x-y+9=0，令x=
3、0,得y=9，故选C.,【误区警示】求切线误区求曲线在点A(x0,y0)处的切线，与求曲线的过点A(x0,y0)的切线不同，前者A在曲线上，k=f(x0),后者A(x0,y0)不一定在曲线上，A不在曲线上时kf(x0),应设切点再求导数，求出斜率进而求出切线.,3.(2011江西高考)曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为()(A)1(B)2(C)e(D)【解析】选A.由条件得:y=ex,根据导数的几何意义可得,k=y|x=0=e0=1.,4.(2011湖南高考)曲线 在点M(,0)处的切线的斜率为()【解题指南】首先求出函数的导函数，再求出在点M处的导数，得到该点处的切线的斜率.,【解析
4、】选故曲线在点M(，0)处的切线的斜率为,5.(2012新课标全国卷)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为_.【解析】y=3lnx+4，故y|x=1=4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1)，化为一般式方程为4x-y-3=0.答案：4x-y-3=0,6.(2010江苏高考)函数y=x2(x0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kN*，若a1=16，则a1+a3+a5的值是_.【解析】由y=x2(x0)得，y=2x，函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：y-ak2=2ak(x-ak),当y=0时，解得x=
5、，ak+1=,a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:21,导数的概念与运算【典例1】(2011辽宁高考)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是_,【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：已知函数解析式是含有参数的多项式：f(x)=ex-2x+a，且f(x)有零点.(2)信息分析：要使f(x)有零点，只要其最小值不大于零即可可以先求f(x)，判断f(x)的单调性,然后求最小值，使最小值小于等于零求解,【解题流程】答案:(-,2ln2-2,【延伸探究】将本例函数改为f(x)=ex-2ax，求f(x)有零点的a的取值范围.【解析】f(x)=ex-2a,f(x
6、)=0,则ex=2a,ex0,a0时，ex=2a有解.f(x)有零点的a的取值范围是(0,+).,【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查题型有：(1)已知函数解析式利用定义求某点的导数，已知函数利用求导公式求导函数;(2)求某点的导数.通过导数计算解与之有关的不等式、方程或求参数值等.考查形式多为选择、填空题.难度为低中档.,备考策略：1.对该部分的学习应该首先在理解平均变化率、瞬时变化率的基础上，透彻理解导数的概念、意义及其作用.掌握利用导数求导法则求函数导数的方法.2.求导公式的记忆与运用是解决导数问题的关键，所以要有意识有目的的对求导公式和导数的运算法则进行强化记忆
7、.,导数的几何意义【典例2】(2012安徽高考)设定义在(0，+)上的函数f(x)=ax+b(a0).(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=x，求 a,b的值.,【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：函数f(x)的解析式;定义域为(0,+),且a0.(2)信息分析：第(1)问利用均值不等式求最小值更方便.第(2)问中,对f(x)求导得f(x),f(1)为切线的斜率,切点(1,f(1)既在切线上又在原函数f(x)上,利用上述关系,建立方程组,即可求得a,b的值.,【规范解答】(1)f(x)=ax+b2+b=b+2.当且仅当ax=
8、(x=)时，f(x)的最小值为b+2.(2)由题意得:f(1)=a+b=f(x)=a-f(1)=a-=由得:a=2,b=-1.,【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要有：(1)导数几何意义的理解、导数几何意义的应用;(2)曲线的切线方程的求解与应用.考查形式有选择、填空题，也有解答题，难度多为中档.,备考策略：导数的几何意义是高考考查的热点，应该作为重点内容，加强训练力度,真正理解导数的几何意义，掌握导数值与切线斜率的关系，求切线斜率时应注意点的位置是否在曲线上.,导数几何意义的创新应用【典例3】(2011陕西高考)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y=e
9、x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1;P2，Q2；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k=1,2,n).,(1)试求xk与xk-1的关系(k=2,n);(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn|.,【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：曲线y=ex的图象，点Q1(0,1)是从点P1(0，0)作x轴的垂线与曲线y=ex的交点，点P2是曲线在Q1点处的切线与x轴的交点，Q2是从P2作x轴的垂线与曲线的交点，依次重复上述过程得到一系列点：P1,Q1；P2,
10、Q2；Pn,Qn，记Pk点的坐标为(xk,0).(2)信息分析：第(1)问可根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x轴的交点坐标；第(2)问|PnQn|等于点Qn 的纵坐标，可求出通项|PnQn|的表达式，然后再求和,【规范解答】(1)设点Pk-1的坐标是(xk-1,0),y=ex,y=ex,Qk-1(xk-1,)，在点Qk-1(xk-1,)处的切线方程是y-=(x-xk-1),令y=0,则xk=xk-1-1(k=2,n).(2)x1=0,xk-xk-1=-1,xk=-(k-1),|PkQk|=e-(k-1),于是有|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn|=1+e-1+e-2+
11、e-(n-1)=即|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn|=.,【阅卷人点拨】,导数的定义(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率_=为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0)或y|x=x0,即f(x0)=_.,【考点突破区】,几何意义函数f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点_处的_.相应地，切线方程为_.(2)函数f(x)的导函数称函数f(x)=_为f(x)的导函数.(3)导数的物理意义：如果把y=f(x)看作是物体的运动方程，那么导数f(x0)表示运动物体在x0时的瞬时速率.,(x0,f
12、(x0),切线的斜率,y-f(x0)=f(x0)(x-x0),【状元心得】1.求曲线的切线方程的两个步骤第一步：求出函数yf(x)在x=x0处的导数f(x0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程y-f(x0)f(x0)(x-x0).提醒：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异:过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.,2.f(x0)与(f(x0)的区别f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为零；而(f(x0)是函数值f(x0)的导数，f(x0)是个常量，其导数为零，即(f(x0)=0.,基本初等函
13、数的导数公式,axlna(a0),ex,【状元心得】1.运用法则和公式求导数的流程,2.求导时的两点提醒(1)对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函数的真数是根式或分式时,可用对数的运算性质转化真数为有理式或整式再求解更为方便.(2)对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.,导数的运算法则(1)f(x)g(x)=_;(2)f(x)g(x)=_;(3)f(x)g(x)=_(g(x)0).,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),【状元心得】法则推广关于导数加法法则，可以推广到有限多个函数的和与差的导数，如：(f(x)+g(x)+h(x)=f(
14、x)+g(x)+h(x).,对切点位置考虑不全导致失误 在导数的几何意义的应用问题中，求过一点的切线方程时首先要判断此点是否在曲线上，如果忽视这个问题就会导致解答错误.【示例】已知曲线y=上一点P(2,),求过点P的切线方程.,【易错易混区】,【错解】由y=()=x2,得y|x=2=4，即过点P的切线方程的斜率为4，则所求的切线方程是y-=4(x-2)，即12x-3y-16=0.【错因】点P(2,)虽然在曲线上，但过点P的切线不一定以点P为切点，忽视了点P不是切点的情况.,【自我校正】【解析】(1)当P为切点时，同错解.(2)当P不是切点时，设切点为Q(x0,y0),则切线方程为y-=x02(
15、x-x0)因为切线过点P(2，)，把点P的坐标代入式，求得x0=-1或x0=2(即点P，舍去)，所以切点为Q(-1,-),切线方程为3x-3y+2=0.综上所述，过点P的切线方程为12x-3y-16=0或3x-3y+2=0.,对导数的定义理解不清导致失误 导数的定义在理解上有一定困难，必须字斟句酌，弄清定义中涉及到的每一个量的意义，透彻理解其几何意义、物理意义，否则在应用中就会出现一些知识性错误.【示例】已知函数f(x)=logax+1,求,【错解】因为f(x)=logax+1,f(x)=logae，=f(1)=logae.【错因】错误的主要原因是对导数的定义理解不清，导数f(x0)=,函数在某一点x0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量x必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是-2x,x等.,【自我校正】【解析】,
