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1、1,2.1 波函数的统计诠释2.2 态叠加原理2.3 薛定谔方程2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律2.5 定态薛定谔方程2.6 一维无限深势阱2.7 线性谐振子,第二章 波函数和薛定谔方程,2,2.1 波函数的统计诠释,（1）平面波可以用来描述自由粒子。,（2）如果粒子受随时间或位置变化的力场的作用，可以用一个函数来描写粒子的波，称为波函数。,1、如何解释一个波所描述的一个粒子的行为？,（3）人们曾经错误地认为波是由它所描写的粒子组成的。,若粒子流的衍射现象是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的，衍射图样应该与粒子流强度有关，但实验证明它们两者却无关。,3,2、波函数统计诠释,1(x)和2(x
2、)分别为单独开缝1或2时，靶上子弹的密度分布，双缝齐开时，靶上子弹的密度分布1(x)2(x),（1）机枪子弹的“双缝衍射”,4,双缝齐开时，声波的强度分布不等于I1(x)I2(x)，还包括两者的干涉项。,（2）声波的双缝衍射,5,（3）电子的双缝衍射,设入射电子流很微弱，几乎是一个一个地通过双缝。图中的照片是在不同时间下拍的。,6,（4）就强度分布来说，电子的双缝衍射与经典波(如声波)的双缝衍射是相似的，而与机枪子弹的分布完全不同这种现象应怎样理解呢?,在底板上点r附近衍射花样的强度 在点r附近感光电子的数目 在点r附近出现的电子的数目 电子出现在点r附近的几率,（5）波恩提出的波函数统计诠释
3、：波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。描写粒子的波称为几率波,7,波函数可以用来描写体系的量子状态（简称态或状态）。,在经典力学中，一旦用来描写质点状态的坐标和动量确定后，其他力学量也确定了。,在量子力学中，用来描写体系某一量子态的波函数确定后，体系的力学量一般有许多可能取值，这些可能取值各自以一定的几率出现。,在经典物理学中，波函数 和 A 代表了能量或强度不同的两种波动状态；而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态。因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。,（6）波函数的特性,8,在时刻t，点(x,y,z)附近的体积元dV内找到粒子的几率dW
4、可以表述为：,几率密度为：,归一化条件可表示为：,那么，称为归一化波函数,归一化波函数还可以含有一个相因子,9,量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如描述自由粒子的平面波函数。,例题：求下面氢原子的1s电子的波函数的归一化系数,10,解 根据归一化的定义，我们有,归一化的波函数为,11,2.2 态叠加原理,经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理。量子力学中的态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设。,c1，c2是复数,一、态叠加原理,含义：当粒子处于态 和态 的线性叠加态时，粒子既处在态，又处在态。,12,如果波函数1(r,t)，2(r,t),都是描述系统的可能的量子态，那么它的线性
5、叠加,也是这个体系的一个可能的量子态，c1，c2,一般也是复数。,二、平面波的叠加,一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示,13,粒子的状态(r,t)可以表示为p取各种可能值的平面波的线性叠加,由于p可以连续变化,式中,14,(r,t)和c(p,t)是同一种状态的两种不同的描述方式，(r,t)是以坐标为自变量的波函数，c(p,t)是以动量为自变量的波函数。,2.3 薛定谔方程,经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程牛顿运动方程，量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程薛定谔方程,15,决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件：（1）方程是线性的（2）方程的系数不应包括状态参量。
6、,一、描述自由粒子的状态方程,自由粒子的波函数,16,利用自由粒子,二、能量和动量算符,17,三、薛定谔方程,一般情况下,根据能量和动量算符,2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律,18,几率密度,几率密度随时间的变化率,利用薛定谔方程,令,19,粒子数守恒定律,2.5 定态薛定谔方程,我们讨论力场中的势能U(r)与时间无关的情况,统计诠释对波函数提出的要求：波函数必须是有限的、连续的和单值的,20,考虑一种特解,E是体系处在这个波函数所描写的状态时的能量。,定态与定态波函数,21,定态薛定谔方程,哈密顿算符,本征方程,当体系处于能量本征态时，粒子的能量有确定值E,22,以En表示体系能量算符的第
7、n个本征值，n是与En相应的波函数，则体系的第n个定态波函数为,23,2.6 一维无限深势阱,在一维空间运动的粒子，其势场满足,（1）阱外（xa,x-a）,因为势壁无限高，粒子不能穿透阱壁，按照波函数的统计解释，在阱壁和阱外粒子的波函数为零。,24,（2）阱内（a x-a）,利用波函数在边界处连续，,体系的能量,25,相应的归一化的波函数为,定态波函数为,26,束缚态：本征能量小于势能，即EU0,本征函数的奇偶性取决于势能函数,基态：体系能量最低的态,27,2.7 线性谐振子,在自然界中一维谐振子广泛存在，任何体系在平衡位置附近的小振动，如分子的振动、晶格的振动、原子和表面振动以及辐射场的振动
8、等都可以分解成若干彼此独立的简谐振动。,质量为m、频率为的振子的哈密顿量可表示为,定态薛定谔方程,28,令,首先考虑方程的渐近解,29,因为波函数在无穷远处为有限，,代入薛定谔方程，得,用级数解法，H只能为一个中断多项式，得到,30,简谐振子的能谱是等间隔的,间距为,基态能量不为零,即零点能量为/2。这是微观粒子波粒二象性的表现，因为“静止的”波没有意义。,31,厄密多项式,递推关系,最简单的几个厄密多项式为,32,一维谐振子的能量及相应的波函数,33,谐振子波函数的奇偶性,下面着重讨论一下基态,对于量子力学，粒子将有一定的几率处于经典允许区之外，对于基态，该几率为,34,35,n=10时线性谐振子的位置几率分布,36,习题 P52531、3、4、5、7、8,
