短期聚合风险模型.ppt

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1、第三章 短期聚合风险模型,风险理论,第一节 短期聚合风险模型的概念,设N是给定时期中风险事故发生次数，Xi 是第 i次风险事故的损失，则这一时期的总损失为 S=X1+X2+XN 一般情况下，风险事故发生次数N为随机变量，因此短期聚合风险模型表现为一个随机过程。,第二节 短期聚合风险模型的特点,短期个别风险模型与短期聚合风险模型的区别：假设有10个风险载体，标号分别为#1、#2、#10。在1年内共发生5次损失事故。第 i 次事故 1 2 3 4 5 损失 0.65 1.24 1.19 0.30 2.47 风险载体标号#7#2#3#5#7 试计算总损失量S。,第二节 短期聚合风险模型的特点,个体模

2、型：S=X1+X2+X10其中 Xi为第i个风险载体的损失量。S=第1号个体损失+第2号个体损失+第10号个体损失=0+1.24+1.19+0+0.30+0+(0.65+2.47)+0+0+0=5.85,聚合模型:S=X1+X2+X5其中 Xi为第i次事故导致的损失量；S=第1次事故损失+第2次事故损失+第5次事故损失=0.65+1.24+1.19+0.30+2.47=5.85,教材短期个体风险模型书后练习1（参见课件第2章）,X=抛5次硬币获得的正面朝上数；Y=抛X个骰子获得的点数；求：EY和VarY,解1：利用短期个体风险模型,理解为：分别抛5个硬币，对于所抛的每个硬币，如果朝向就抛一个骰

3、子，记下点数W。于是 Y=W1+W2+W3+W4+W5。其中，Wi是第i个硬币朝上时抛骰子所获得的点数。W=IB，I=硬币朝上的值（0或1），q=Pr(I=0)=Pr(I=1)=1/2 B=骰子的点数（16），P(B=j|I=1)=1/6,j=1,2,6=EB|I=1=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2 EB2|I=1=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6 2=VarB|I=1=35/12 EY=5q=5(7/2)(1/2)=35/4 VarY=5q(1-q)+2q=5(47/4)(1/2)(1/2)+(35/12)(1/2)=1085/48,解2：利用短期聚合风险模型,第三节

4、总损失S的分布,X的k阶原点矩为 pk=EXk；X的矩母为Mx(t)=EetX;N的矩母为MN(t)=EetN;S的矩母为MS(t)=EetS;ES=EES|N=EENi=1Xi|N=ENEXi=ENp1=p1EN;VarS=EVarS|N+VarES|N=ENvarX+VarNEX=ENVarX+VarN(E X)2=(p2-p12)EN+p12VarN;,第三节 总损失的分布,练习1,设理赔次数N服从几何分布，即 Pr（N=n）=pqn;n=0,1,2,其中，p=1-q，0q1。试用个体损失X的矩母表示总损失S的矩母。,解,MN(t)=EetN=n=0etnPr(N=n)=n=0 p(qe

5、t)n=p n=0(1-qet)(qet)n/(1-qet)=p/(1-qet)MS(t)=MN(lnMX(t)=p/(1-q exp(lnMX(t)=p/(1-qMX(t),全概率=1,第三节 总损失S的分布,S的概率分布为：,例题,某风险载体在确定期间发生0、1、2、3次损失事故的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2。损失量答1、2和3的概率分别为0.5、0.4和0.1。计算总损失量的分布。N：0,1,2,3 X：1,2,3 N=n 0 1 2 3 X=x 1 2 3 fN(n)0.1 0.3 0.4 0.2 fX(x)0.5 0.4 0.1,解,N：0,1,2,3 X：1,2,3 N

6、=n 0 1 2 3 X=x 1 2 3 fN(n)0.1 0.3 0.4 0.2 fX(x)0.5 0.4 0.1因N最大为3，X最大为3，所以S最大为9。fS(x)=Pr(S=x)=n=0,1,2,3f*n(x)fN(n)f*n(x)=Pr(X1+X2+Xn=x)=all yx Pr(X1+X2+Xn-1+Xn=x|Xn=y)Pr(Xn=y)=all yx f*(n-1)(x-y)f(y)特别地，f*0(x)=Pr(0=x)当且仅当x=0时,f*0(0)=1 f*1(x)=Pr(X1=x)f*2(x)=Pr(X1+X2=x)f*3(x)=Pr(X1+X2+X3=x),例题（续）,练习1,N

7、服从几何分布，即 Pr（N=n）=pqn，n=0,1,2,p=1-q,00试证明：MS(t)=p+q p/(p-t),答案,答案(续),0的矩母,指数分布(=p)的矩母,第四节 N的分布的选择,事故发生次数N的分布 对于EN=VarN的情形,选N服从泊松分布;对于VarNEN的情形,选N服从负二项分布.（1）对于N服从泊松分布的情形:称S服从复合泊松分布 ES=EES|N=EX=p1 VarS=VarES|N+EVarS|N=VarN EX+EN VarX=(EX)2VarN+VarXEN=p12+(p2-p12)=p2,当S复合泊松时:ES=p1VarS=p2,第四节 N的分布的选择,当S服

8、从复合 泊松分布时，MS(t)=MN(lnMX(t)=exp(elnMx(t)-1)=exp(MX(t)-1),第四节 N的分布的选择,（2）N服从参数为的泊松分布，而的概率密 度为 u(),0 则 EN=EEN|=E；VarN=EVarN|+VarEN|=E+Var。MN(t)=E(etN)=EEetN|=Eexp(et-1)=M(et-1),练习2,对于总损失量S=X1+X2+XN，已知1）X的分布为 x f（x）1 p 2 1-p2）服从泊松分布，参数为1/p；3）当=时，N服从泊松分布，参数为；4）N与Xi 相互独立；5）Var（S）=19/2求：p。,答案,Var(S)=Var(E(

9、S|)+E(Var(S|)=Var(p1)+E(p2)=(p1)2Var()+p2E()p1=(1)(p)+(2)(1-p)=2-p;P2=(1)2(p)+(2)2(1-p)=4-3p;Var()=1/p;E()=1/p,答案（续）,(2-p)2(1/p)+(4-3p)(1/p)=19/2p2-16.5p+8=0(p-16)(p-0.5)=0p=16(舍)，p=1/2,第五节 X的分布的选择,因为,第五节 X的分布的选择,可见，X的分布的选择将决定卷积运算的难度和复杂程度。所以，应当尽量选择方便卷积运算的分布。通常选择X为离散型随机变量。,第六节 复合泊松分布的性质,从上节的讨论看，通常选择X

10、为离散性随机变量将方便运算；对于N服从泊松分布的情况，我们可以有哪些方法计算呢？1）卷积法；2）利用复合泊松分布的一些特性（本节介绍）；3）其他方法。,第六节 复合泊松分布的性质,定理：如果S1、S2、Sm是相互独立随机变量，Si是参 数、分布函数Fi(x),(i=1,2,m)的复合泊松分布随机变 量。则，S=S1+S2+Sm 是复合泊松分布随机变量，且其 参数和分布函数分别为,定理证明,思考题,本定理中，请选择：1）Fi(x)是哪个随机变量的分布函数？2）F(x)是哪个随机变量的分布函数？3）i 是哪个随机 变量的泊松分布参数？4）是哪个随机 变量的泊松分布参数？（A）总损失S（B）Si对应

11、的个体损失X（C）S对应的个体损失X（D）Si 对应的损失次数N（E）S 对应的损失次数N,答案,本定理中，1）Fi(x)是什么随机变量的分布函数？答：Si对应的个体损失X（B）2）F(x)是哪个随机变量的分布函数？答：S对应的个体损失X（C）3）i 是哪个随机 变量的泊松分布参数？答：Si对应的损失次数N（D）4）是哪个随机 变量的泊松分布参数？答：S对应的损失次数N（E）,要点,由于总损失S的分布性质通常难以直接描述，所以当S服从复合泊松分布时，就用其对应的损失次数N的参数、个体损失X的分布函数来描述S的分布性质。,练习3,S1服从复合泊松分布，参数为=3，f(1)=f(2)=f(3)=1

12、/3；S2服从复合泊松分布，参数为=2，f(1)=f(2)=1/2；求S1+S2分布对应的f(2)。,答案,根据本章定理，f(x)=(i/)fi(x)f(1)=(3/5)(1/3)+(2/5)(1/2)=2/5;f(2)=(3/5)(1/3)+(2/5)(1/2)=2/5;f(3)=(3/5)(1/3)+(2/5)(0)=1/5.,练习4,S为总损失量，损失次数N的概率分布为：N=n Pr（N=n）0 0.5 1 0.25 2 0.25 损失量服从泊松分布(参数为2)。求S的方差。,答案,Var(S)=E(N)Var(X)+(E(X)2Var(N)E(N)=(0)(0.5)+(1)(0.25)

13、+(2)(0.25)=0.75 E(N2)=(0)(0.5)+(1)(0.25)+(4)(0.25)=1.25 Var(N)-1.25-(0.75)2=0.6875 E(X)=2 Var(X)=2Var(S)=(0.75)(2)+(2)2(0.6875)=4.25,练习5,个体损失量服从正态分布，参数为100和32。灾害次数N的分布为 n Pr（N=n）0 0.50 1 0.20 2 0.20 3 0.10 求总损失量超过100的概率.,解答,Pr(S100)=Pr(S100|N=0)Pr(N=0)+Pr(S100|N=1)Pr(N=1)+Pr(S100|N=2)Pr(N=2)+Pr(S100

14、|N=3)Pr(N=3)Pr(S100|N=0)=0For N=1,2,3 Pr(S100|N=n)=Pr(X1+X2+Xn100)=Pr(Sn100)=Pr(N(0,1)(100-n)/(n2)1/2)=1-(100-n)/(n2)1/2)=1-(100-100n)/(9n)1/2)Pr(S100|N=1)=1-(0)=0.5Pr(S100|N=2)=1-(-23.57)1.0(23.574)Pr(S100|N=3)=1-(-38.49)1.0(23.574)Pr(S100)=(0.5)(0.2)+(1)(0.2)+(1)(0.1)=0.4,练习6,先抛一个各侧面且标有数字1、2的均匀硬币，

15、记下出面的数字N，然后抛各侧面标有0、1的N个均匀硬币，记下出现正面的数量S。求S的分布、均值和方差。,解,N：1，2；X：0，1；S：0，1，2P(S=0)=P(N=1)P(X=0)+P(N=2)P(X=0)P(X=0)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)(1/2)=3/8P(S=1)=P(N=1)P(X=1)+P(N=2)P(X=0)P(X=1)+P(N=2)P(X=1)P(X=0)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)(1/2)=1/2P(S=2)=P(N=2)P(X=1)P(X=1)=(1/2)(1/2)(1/2)=1/8E(S)=0(3/

16、8)+1(1/2)+2(1/8)=3/4E(S2)=0(3/8)+1(1/2)+4(1/8)=1Var(S)=1-(3/4)2=7/16或E(N)=1(1/2)+2(1/2)=3/2 E(N2)=1(1/2)+4(1/2)=5/2 Var(N)=5/2-(3/2)2=1/4E(X)=1/2 E(X2)=1/2 Var(X)=1/4E(S)=E(N)E(X)=(3/2)(1/2)=3/4Var(S)=Var(N)E(X)2+E(N)Var(X)=(1/4)(1/2)2+(3/2)(1/4)=7/16,问题,设 a1,a2,am 是m个不同的实数；N1,N2,Nm是相互独立的随机变量；Ni(i=1

17、,2,m)是参数为i 的泊松分布随机变量。问：服从什么分布？,解答,答案（续）,代入上页推导结果,答案（续）,本练习的总结,由该例子可以看出，任何离散型总损失量S都可以写成如下形式：S=x1N1+x2N2+xmNm 其中 x1,x2,xm 为个体损失量的离散值；N1,N2,Nm为对应损失量的发生次数；,问题,对于上页的讨论，如果令 N=N1+N2+Nm那么1）N是什么？2）N服从什么分布？,回答,N=N1+N2+NmN是总集中损失次数的和，即与S对应的损失次数。而Ni是子集中损失次数的和，即与Si=xiNi对应的损失次数。实际上，S 就是总损失。S=X1+X2+XNS=x1N1+x2N2+x3

18、N3以上两式以不同方式度量总损失。,第六节 复合泊松分布的性质,定理：对于 S=x1N1+x2N2+xmNm如果S服从复合泊松分布，且其参数为，个体损失概率为 X=x x1 x2.xm Pr(X=x)p(x1)p(x2).P(xm)则，(1)N1，N2，Nm相互独立；(2)Ni 服从泊松分布，参数为p(xi)，i=1,2,m,定理证明（证明结论2）,（1）N的分布：泊松分布，参数为。MN(t)=exp(et-1)（2）Ni的分布：Ni含义是 N次事故中，发生损失量为xi的次数。显然，Ni服从二项分布。但注意N是随机变量，所以实际上Ni在N确定的条件下才服从 二项分布。即 Ni|N=n bin（

19、n，pi）。pi=p(xi),定理证明（只证明第2个结论）,于是，,到底Ni服从什么分布？,回答：Ni以N为条件服从二项分布；Ni独立服从泊松分布；,练习7,总损失量S服从复合泊松分布，且 S=1N1+2N2+3N3已知(1)ES=56；(2)VarS=126；(3)E(S-E(S)3=314；求：2=E（N2）,答案,答案(续）,S=1N1+2N2+3N3X=1,2,3 对应概率为f(1),f(2),f(3)根据定理，2=E(N2)=f(2),答案(续）,E(S)=p1 Var(S)=p2 E(S-E(S)3=p3 p1=E(X)=1f(1)+2f(2)+3f(3)=56/p2=E(X2)=

20、1f(1)+4f(2)+9f(3)=126/p3=E(X3)=1f(1)+8f(2)+27f(3)=314/f(2)=11=2,推论1,若x1,x2,xm只取正整数，记i=p(i),i=1,2,则总损失S的概率分布的递归公式为实际上，上限为x和m中的较小者。,练习,总理赔额S服从复合泊松分布，参数为=1，个体理赔额为1,2的概率分别为1/4,3/4。对于x=0,1,2,计算S的概率分布f(x)=Pr(S=x),解答,解法1：利用模型S=X1+X2+XN f(0)=Pr(N=0)=e-1 f(1)=Pr(N=1)Pr(X=1)=(1/4)e-1 f(2)=Pr(N=1)Pr(X=2)+Pr(N=

21、2)Pr(X=1)Pr(X=1)=(25/32)e-1,解答,解法2：利用模型S=N1+2N2 1=p(1)=1/4;2=p(2)=3/4 f(0)=Pr(N1=0)Pr(2N2=0)=e-1/4e-3/4=e-1 f(1)=Pr(N1=1)Pr(2N2=0)=(1/4)e-1/4e-3/4=(1/4)e-1 f(2)=Pr(N1=0)Pr(2N2=2)+Pr(N1=2)Pr(2N2=0)=e-1/4(3/4)e-3/4+(1/32)e-1/4 e-3/4=(25/32)e-1,解答,解法3：利用f(x)的递归公式 1=p(1)=1/4;2=p(2)=3/4 f(0)=Pr(N=0)=e-1

22、f(1)=1f(0)=(1/4)e-1 f(2)=(1/2)1f(1)+2f(0)=(25/32)e-1,练习,总损失S服从复合泊松分布，参数=5，损失额只能是1或2，且S的分布为 x 0 1 2 f(x)e-5 3.5e-5 7.625e-5计算损失额X的分布。,解答,推论2,若x1,x2,xm只取正整数，且损失次数N的分布满足其中a和b为N的分布参数，则总损失S的概率分布为,常见的参数为（a,b）的分布,练习,损失次数服从几何分布，参数p=0.2，损失额X的分布为 x 0 1 2 p(x)0.2 0.3 0.5 计算总损失额S的Pr(S4)。,解答,第七节 总损失量S分布的近似,定理：如果

23、S为由和f(x)确定的复合泊松分布，则当时，的分布收敛于标准正态分布。,练习8,S1服从复合泊松分布，参数1=1，f1(1)=0.75,f1(5)=0.25;S2服从复合泊松分布，参数 2=1，f2(3)=0.5,f2(7)=0.5；S1、S2相互独立。求Pr(S1+S23),答案,S=S1+S2，S也服从复合泊松分布，参数为=1+1=2。对应个别损失量的分布为 f(1)=(1/2)(0.75)=3/8 f(3)=(1/2)(0.5)=1/4 f(5)=(1/2)(0.25)=1/8 f(7)=(1/2)(0.5)=1/4Pr(S1+S23)=Pr(S3)=Pr(N=0)+Pr(N=1)Pr(

24、X=1)+Pr(X=3)+Pr(N=2)Pr(X=1)Pr(X=1)+Pr(N=3)Pr(X=1)Pr(X=1)Pr(X=1),答案（续）,Pr(S1+S23)=Pr(N=0)+Pr(N=1)Pr(X=1)+Pr(X=3)+Pr(N=2)Pr(X=1)Pr(X=1)+Pr(N=3)Pr(X=1)Pr(X=1)Pr(X=1)Pr(N=0)=e-=e-2 Pr(N=1)=e-=2e-2 Pr(N=2)=2e-/2!=2e-2 Pr(N=3)=3e-/3!=(4/3)e-2 Pr(S1+S23)=e-2+2e-2(3/8+1/4)+2e-2(3/8)2+(4/3)e-2(3/8)3=0.35208,练习9,SA、SB相互独立，都为复合泊松分布；(1)A=B=1(2)fA(1)=1(3)fB(1)=fB(2)=1/2 F(x)为SA+SB=S的对应个别损失量的分布函数。求F*4(6),答案,P*4(6)=Pr(X1+X2+X3+X46)X的分布为：f(1)=(1/2)(1)+(1/2)(0.5)=3/4 f(2)=(1/2)(0)+(1/2)(0.5)=1/4接下来就是4个X的卷积问题,答案（续）,