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1、第十章 统计回归模型,10.1 牙膏的销售量10.2 软件开发人员的薪金10.4 投资额与国民生产总值和 物价指数,回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,不涉及回归分析的数学原理和方法,通过实例讨论如何选择不同类型的模型,对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进,由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。,10.1 牙膏的销售量,问题,建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型,预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量,收集了30个销售
2、周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价,基本模型,y 公司牙膏销售量,x1其它厂家与本公司价格差,x2公司广告费用,x1,x2解释变量(回归变量,自变量),y被解释变量（因变量）,0,1,2,3 回归系数,随机误差（均值为零的正态分布随机变量）,MATLAB 统计工具箱,模型求解,b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha),输入,x=n4数据矩阵,第1列为全1向量,alpha(置信水平,0.05),b的估计值,bintb的置信区间,r 残差向量y-xb,rintr的置信区间,Stats检验统计量 R2,F,p,yn维数据向量,输
3、出,由数据 y,x1,x2估计,结果分析,y的90.54%可由模型确定,F远超过F检验的临界值,p远小于=0.05,2的置信区间包含零点(右端点距零点很近),x2对因变量y 的影响不太显著,x22项显著,可将x2保留在模型中,模型从整体上看成立,销售量预测,价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4,估计x3,调整x4,控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元,销售量预测区间为 7.8230，8.7636（置信度95%）,上限用作库存管理的目标值,下限用来把握公司的现金流,若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知道销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上
4、,(百万支),模型改进,x1和x2对y的影响独立,两模型销售量预测比较,(百万支),区间 7.8230，8.7636,区间 7.8953，8.7592,(百万支),控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元,预测区间长度更短,略有增加,x2=6.5,x1=0.2,x1,x1,x2,x2,两模型 与x1,x2关系的比较,交互作用影响的讨论,价格差 x1=0.1,价格差 x1=0.3,加大广告投入使销售量增加（x2大于6百万元）,价格差较小时增加的速率更大,x2,完全二次多项式模型,MATLAB中有命令rstool直接求解,从输出 Export 可得,10.2 软件开发人员的薪金,资历
5、 从事专业工作的年数；管理 1=管理人员，0=非管理人员；教育 1=中学，2=大学，3=更高程度,建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系,分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考,分析与假设,y 薪金，x1 资历（年）,x2=1 管理人员，x2=0 非管理人员,1=中学2=大学3=更高,资历每加一年薪金的增长是常数；管理、教育、资历之间无交互作用,教育,线性回归模型,a0,a1,a4是待估计的回归系数，是随机误差,模型求解,R2,F,p 模型整体上可用,资历增加1年薪金增长546,管理人员薪金多6883,中学程度薪金比更高的少2994,大学程度薪金比更高的多148,a4置信区间
6、包含零点，解释不可靠!,残差分析方法,结果分析,残差,e 与资历x1的关系,e与管理教育组合的关系,残差全为正，或全为负，管理教育组合处理不当,残差大概分成3个水平，6种管理教育组合混在一起，未正确反映。,应在模型中增加管理x2与教育x3,x4的交互项,进一步的模型,增加管理x2与教育x3,x4的交互项,R2,F有改进，所有回归系数置信区间都不含零点，模型完全可用,消除了不正常现象,异常数据(33号)应去掉,e x1,e 组合,去掉异常数据后的结果,e x1,e 组合,R2：0.957 0.999 0.9998F：226 554 36701 置信区间长度更短,残差图十分正常,最终模型的结果可以
7、应用,模型应用,制订6种管理教育组合人员的“基础”薪金(资历为0）,中学：x3=1,x4=0；大学：x3=0,x4=1；更高：x3=0,x4=0,x1=0；x2=1 管理，x2=0 非管理,大学程度管理人员比更高程度管理人员的薪金高,大学程度非管理人员比更高程度非管理人员的薪金略低,对定性因素(如管理、教育)，可以引入0-1变量处理，0-1变量的个数应比定性因素的水平少1,软件开发人员的薪金,残差分析方法可以发现模型的缺陷，引入交互作用项常常能够改善模型,剔除异常数据，有助于得到更好的结果,注：可以直接对6种管理教育组合引入5个0-1变量,10.4 投资额与国民生产总值和物价指数,问题,建立投
8、资额模型，研究某地区实际投资额与国民生产总值(GNP)及物价指数(PI)的关系,2.0688,3073.0,424.5,20,1.0000,1185.9,195.0,10,1.9514,2954.7,474.9,19,0.9601,1077.6,166.4,9,1.7842,2631.7,401.9,18,0.9145,992.7,144.2,8,1.6342,2417.8,423.0,17,0.8679,944.0,149.3,7,1.5042,2163.9,386.6,16,0.8254,873.4,133.3,6,1.4005,1918.3,324.1,15,0.7906,799.0,1
9、22.8,5,1.3234,1718.0,257.9,14,0.7676,756.0,125.7,4,1.2579,1549.2,206.1,13,0.7436,691.1,113.5,3,1.1508,1434.2,228.7,12,0.7277,637.7,97.4,2,1.0575,1326.4,229.8,11,0.7167,596.7,90.9,1,物价指数,国民生产总值,投资额,年份序号,物价指数,国民生产总值,投资额,年份序号,根据对未来GNP及PI的估计，预测未来投资额,该地区连续20年的统计数据,时间序列中同一变量的顺序观测值之间存在自相关,以时间为序的数据，称为时间序列,分
10、析,许多经济数据在时间上有一定的滞后性,需要诊断并消除数据的自相关性，建立新的模型,若采用普通回归模型直接处理，将会出现不良后果,投资额与国民生产总值和物价指数,基本回归模型,投资额与 GNP及物价指数间均有很强的线性关系,t 年份，yt 投资额，x1t GNP,x2t 物价指数,0,1,2 回归系数,t 对t相互独立的零均值正态随机变量,基本回归模型的结果与分析,MATLAB 统计工具箱,剩余标准差 s=12.7164,没有考虑时间序列数据的滞后性影响,R20.9908，拟合度高,模型优点,模型缺点,可能忽视了随机误差存在自相关；如果存在自相关性，用此模型会有不良后果,自相关性的定性诊断,残
11、差诊断法,模型残差,作残差 etet-1 散点图,大部分点落在第1,3象限,大部分点落在第2,4象限,自相关性直观判断,在MATLAB工作区中输出,et为随机误差t 的估计值,自回归性的定量诊断,自回归模型,自相关系数,0,1,2 回归系数,=0,0,0,如何估计,如何消除自相关性,D-W检验,ut 对t相互独立的零均值正态随机变量,D-W统计量与D-W检验,检验水平,样本容量，回归变量数目,检验临界值dL和dU,由DW值的大小确定自相关性,广义差分变换,以*0,1,2 为回归系数的普通回归模型,原模型 DW值,无自相关,有自相关,新模型,新模型,步骤,原模型,变换,不能确定,投资额新模型的建
12、立,DWold dL,作变换,原模型残差et,样本容量n=20，回归变量数目k=3，=0.05,临界值dL=1.10,dU=1.54,总体效果良好,剩余标准差 snew=9.8277 sold=12.7164,投资额新模型的建立,新模型的自相关性检验,dU DWnew 4-dU,新模型残差et,样本容量n=19，回归变量数目k=3，=0.05,临界值dL=1.08,dU=1.53,新模型,还原为原始变量,一阶自回归模型,一阶自回归模型残差et比基本回归模型要小,模型结果比较,基本回归模型,一阶自回归模型,投资额预测,对未来投资额yt 作预测，需先估计出未来的国民生产总值x1t 和物价指数 x2t,设已知 t=21时，x1t=3312，x2t=2.1938,一阶自回归模型,基本回归模型,t 较小是由于yt-1=424.5过小所致,
