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1、3.3 解对初值的连续性和可微性,/Continuous and differentiable dependence of the solutions/,解对初值的连续性,解对初值的可微性,本节要求：1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理；2 了解解对初值及参数的可微性定理。,内容提要,3.3 Continuity&differentiability,解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性,内容:,G,图例分析(见右),解对初值的对称性:,Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？,按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题
2、:,3.3.1 解对初值的对称性定理,设 f(x,y)于域 G 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，,是初值问题,的唯一解，则在此表达式中，与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式,3.3 Continuity&differentiability,证明,则由解的唯一性知,即此解也可写成:,且显然有:,解对初值的连续依赖性定理,假设 f(x,y)于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，,是初值问题,的解，它于区间 有定义，那么，对任意给定的，必存在正数 使得当,时，方程满足条件 的解,在区间,也有定义，并且,3.3 Continuity&differentiability
3、,引理,如果 f(x,y)在某域 D 内连续，且关于 y 满足,利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式,其中 为所考虑区间内的某一值。,证明,设 在区间 均有定义，令,不妨设,因此，有,3.3 Continuity&differentiability,则,于是,因此，在区间 a,b 上 为减函数，有,3.3 Continuity&differentiability,对于区间,则,并且已知它有解,类似以上推导过程，令,注意到,因此,两边取平方根，得,3.3 Continuity&differentiability,解对初值的连续依赖性定理的
4、证明,条件:I.在G内连续且关于 满足局部Lips.条件;II.是(1)满足 的解,定义 区间为a,b.,结论:对,使得当,时,方程(1)过点 的解 在a,b上也有定义,且,方程,记积分曲线段S：,显然S是xy平面上的有界闭集.,第一步:找区域D,使,且 在D上满足Lips.条件.,G,(见下图),由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使 在其内满足Lips.条件,李普希茨常数为.根据有限覆盖定理,存在N,当 时,有,对,记,则以 为半径的圆,当其圆心从S的左端点沿S 运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域D,b,a,思路分析：,第二步:证明 在a,b上有定义.,断言，必存在这样的正数
5、,使得只要 满足不等式,则解 必然在区间,也有定义。,由于D是有界闭区域，且 f(x，y)在其内关于 y 满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为,这是必然有,3.3 Continuity&differentiability,因为否则设 则由引理,由 的连续性，对,必存在,使得当 时有,取,则当,3.3 Continuity&differentiability,于是,对一切 成立，特别地有,即点,均落在D的内部，而不可能,位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间a,b上有定义。,3.3 Continuity&differentiability,
6、第三步:证明,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值的连续性定理,假设 f(x,y)于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，则方程,3.3 Continuity&differentiability,1.含参数的一阶方程表示,2.一致利普希兹条件,设函数,满足局部利普希兹(Lipschitz)条件，,为中心的球，使得对任何,其中L 是与 无关的正数。,在 内连续，且在 内,都存在以,成立不等式,3.3 Continuity&differentiability,一致地关于 y,即对 内的每一点,由解的存在唯一性定理，对每一,方程 的解唯一确定。记为,3.3 Continu
7、ity&differentiability,解对初值和参数的连续依赖性定理,假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件，,是方程 通过点 的解，在区间,那么，对任意给定的，必存在正数,时，方程满足条件 的解,在区间,也有定义，并且,有定义,其中,使得当,3.3 Continuity&differentiability,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值和参数的连续性定理,假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件，则方程,3.3 Continuity&differentiability,解对初值的可微性定理,的解 作为 的函数在它
8、的存在范围内是连续可微的。,若函数 f(x,y)以及 都在区域 G 内连续，则方程,3.3 Continuity&differentiability,3.3 Continuity&differentiability,证明,由,在区域 G 内连续，推知 f(x,y)在,G 内关于 y 满足局部利普希茨条件。因此，解对初值的连续性定理成立，即,下面进一步证明对于函数 的存在范围内任一点的偏导数,在它的存在范围内关于 是连续的。,存在且连续。,3.3 Continuity&differentiability,设由初值,为足够小的正数）所确定的方程的解分别为,即,于是,其中,先证,存在且连续。,3.3
9、 Continuity&differentiability,注意到 及,的连续性，有,其中 具有性质,类似地,其中 与 具有相同的性质，因此对,3.3 Continuity&differentiability,即,是初值问题,的解，在这里 被视为参数。,显然，当 时上述初值问题仍然有解。,3.3 Continuity&differentiability,根据解对初值和参数的连续性定理，知,是,的连续函数。从而存在,而,是初值问题,的解。,且,，显然,的连续函数。,它是,3.3 Continuity&differentiability,再证,存在且连续。,为初值,设,所确定的方程的解。,类似地可推证,是初值问题,的解。因而,3.3 Continuity&differentiability,其中 具有性质,故有,至于 的存在及连续性，只需注意到,显然它是,的连续函数。,是方程的解，因而,由 及 的连续性即直接推的结论。,证毕。,3.3 Continuity&differentiability,作业：P.103 第 3,4 题,1 已知方程,试求,3.3 Continuity&differentiability,课堂练习,按照公式，有,由于,，因此，我们有,时有,课堂练习答案提示,
