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1、车辆电控与机电液一体化技术,（第一部分）测控概述，状态空间法基础，线性系统的可控性与可观测性,主要参考书,1 张孝祖 主编.车辆控制理论基础及应用.北京：化学工业出版社，2007年2 周云山，于秀敏.汽车电控系统理论与设计.北京：北京理工大学出版社，1999年,测控概述,1测试系统及其组成测试系统由以下几部分组成：传感器、信号变换与测量电路、显示与记录器、数据处理器，以及打印机等外围设备，如图1.1所示。2控制系统及其组成2.1 控制理论的发展阶段经典控制理论阶段建立在奈奎斯特的频率响应法及伊万斯的根轨迹法基础上的理论目前统称为经典控制理论。,图1.1 测试系统的组成,测控概述,现代控制理论在
2、现代数学和数字计算机的基础上，于1960年前后开始形成现代控制理论，它的主要标志是贝尔曼等人提出的状态空间法(state space methods)、庞特里亚金极大值原理(pontryagns maximum princp1e)、贝尔曼动态规划法(bellmans dynamic programming methods)、卡尔曼的可控性可观测性理论(controllability and observability)及最佳滤波理论(optimal filtering theory)。,测控概述,大系统理论和智能控制理论20世纪70年代以来控制理论的新发展。所谓大系统，就是规模十分庞大的信息与
3、控制系统，如大型交通运输系统、大型电力网、大型通信网、大型空间控测系统等，它们大都包括若干子系统，并与有控制能力的电子计算机相结合，采用多级递阶控制，以实现多指标综合最优化。智能控制系统则是与人工智能相结合的信息与控制系统，例如模糊控制、人工神经网络等。20世纪90年代末以来，不少研究者提出充分利用现在的一切技术，同时从时间域和频域两种方法来设计控制系统，即择优控制(elective control)。,测控概述,2.2 控制理论在机电领域的广泛应用，主要体现在以下几个方面：1）机械制造过程正向着自动化、最优化相结合的方向，以及机电一体化方向发展。例如计算机集成制造系统CIMS等。2）为了安全
4、性、并为了降低人们的劳动强度，车辆、船舶、航空航天器等产品的自动控制及其智能化。,测控概述,4）制造和加工过程的动态研究。因为高速切削、强力切削、高速空程等正在日益广泛地应用，同时，加工精度越来越高，0.01m乃至0.001m精度相继出现，这就要求把加工过程如实地作为动态系统加以研究，包括计算机仿真及优化。5）在产品设计方面，充分考虑产品与设备的动态特性，然后建立它们的数学模型，进行优化设计。包括计算机辅助设计和试验的研究。6）在动态过程或参数测试方面，正在以控制理论作为基础，向着动态测试方向发展。动态精度、动态位移、振动、噪声、动态力与动态温度等的测量，从基本概念，测试手段到测试数据的处理方
5、法无不同控制理论息息相关。总之，控制理论，微处理机技术同机电一体化的结合，同机械制造技术的结合，将促使这一领域中的试验、研究、设计、制造、管理等各个方面发生巨大的变化。,测控概述,图1.2是一个恒温箱的自动控制系统。其中，恒温箱的温度是由给定信号电压u1控制的。当外界因素引起箱内温度变化时，作为测量元件的热电偶，把温度转换成对应的电压信号u2，并反馈回去与给定信号u1相比较，所得结果即为温度的偏差信号u=u1-u2。经过电压、功率放大后，用以改变电机的转速和方向，并通过传动装置拖动调压器动触头。当温度偏高时，动触头向着减小电流的方向运动，反之加大电流，直到温度达到给定值为止。即只有在偏差信号u
6、=0时，电机才停转。这样就完成了所要求的控制任务。而所有这些装置便组成了一个自动控制系统。,图1.2 恒温箱的自动控制系统,测控概述,系统要检测偏差，并用检测到的偏差去纠正偏差，在自动控制系统中，这一偏差是通过反馈建立起来的。图1.3 为恒温箱温度自动控制系统职能方块图。图中代表比较元件，箭头代表作用的方向。给定量也叫控制系统的输入量，被控制量称为系统的输出量。从图中可以看到反馈控制的基本原理。也可以看到，各职能环节的作用是单向的，每个环节的输出是受输入控制的。总之，实现自动控制的装置可各不相同，但反馈控制的原理却是相同的，可以说，反馈控制是实现自动控制最基本的方法。控制系统主要有开环控制与闭
7、环控制。反馈控制系统的基本组成如图1.4所示。该图表示了这些元件在系统中的位置和其相互间的关系。由图可以看出，作为一个典型的反馈控制系统应该包括反馈元件、给定元件、比较元件(或比较环节)、放大元件、执行元件及校正元件等。给定元件：主要用于产生给定信号或输入信号，例如，调速系统的给定电位计。,图1.3 恒温箱温度自动控制系统职能方块图,测控概述,反馈元件：它量测被调量或输出量，产生主反馈信号，该信号与输出量存在确定的函数关系(通常为比例关系)。例如，调速系统的测速发电机。比较元件：用来比较输入信号和反馈信号之间的偏差。可以是一个差接的电路，它往往不是一个专门的物理元件，有时也叫比较环节。而自整角
8、机，旋转变压器、机械式差动装置却是物理的比较元件。,图1.4 典型的反馈控制系统方块图,测控概述,放大元件：对偏差信号进行信号放大和功率放大的元件。例如伺服功率放大器、电液伺服阀等。执行元件：直接对控制对象进行操作的元件。例如执行电机，液压马达等。控制对象：控制系统所要操纵的对象。它的输出量即为系统的被调量(或被控制量)，例如机床、工作台等。校正元件：用以稳定控制系统，提高性能。有反馈校正和串联校正两种形式。,测控概述,图1.5 汽车开环控制系统,图1.6 柴油发动机角速度闭环控制系统,测控概述,图1.7“汽车驾驶员”闭环系统,测控概述,2.3 控制系统的设计步骤一般可按以下的步骤进行：(1)
9、在开始设计时，首先应熟悉技术要求或性能指标，了解给定对象和元件的动态特性，若有可能，应采用综合方法来建立系统的数学模型。(2)根据数学模型，采用数学方法进行计算，求出控制问题的数学解答。(3)将数学模型排到计算机上，对设计出来的系统在各种信号和扰动作用下的响应进行仿真，若不满意，必须进行再设计和相应的分析，这样反复进行，直到满意为止。(4)根据设计的控制系统，建造系统的样机，它以适当的精度代替系统的数学模型，最 后还应根据建成的样机进行实验，看是否满足性能要求，否则，应对样机进行修改或重新进行设汁和试验，直到样机满足要求为止。,测控概述,3 几种工程测控中常用传感器传感器是将被测物理量转换为与
10、之相对应的，容易检测、传输或处理的信号的装置。1）电阻应变片式传感器2）电感式传感器3）电容式传感器4）压电式传感器5）磁电式传感器6）光电式传感器7）热电式传感器8）霍尔传感器 9）氧量传感器,测控概述,4 ECU的构成汽车电控系统由硬件和软件组成，硬件一般是由传感器、电子控制器(ECU)及其接口与执行器组成的。汽车用微计算机,一般是在一块芯片上集成了微处理器(中央处理单元CPU,即运算器与控制器的合称)、存储器(RAM、ROM)和各种功能的输入/输出(I/O)接口,有的还集成了模/数(A/D)转换器等,计算机行业称此为单片机(MCU)。ECU 通常是由车用单片机与一些标准的或特制的集成电路
11、构成的。也可以说,ECU 主要是由输入电路、单片机、输出电路及电源电路4 部分组成的,ECU 的方框图如图1.8 所示。,测控概述,图1.8 ECU的方框图,测控概述,5 汽车控制局域网及分类 目前存在的多种汽车网络标准，其侧重的功能有所不同，为方便研究和设计应用，SAE车辆网络委员会将汽车数据传输网划分为A、B、C三类。A类：面向传感器执行器控制的低速网络，数据传输速率通常只有110kbit/s。B类：面向独立模块间数据共享的中速网络，传速率一般为10100kbit/s。C类：面向高速、实时闭环控制的多路传输网，最高传速率可达1Mbit/s。,测控概述,CAN（Controller Area
12、 Network）总线是一种串行多主站控制器局域网总线，是德国BOSCH公司20世纪80年代初为解决现代汽车中众多的控制与测试仪器之间的数据交换而开发的一种串行数据通讯协议。目前汽车上的网络连接方式主要采用2条CAN，一条用于驱动系统的高速CAN，即动力总线，其传输速率达到500kb/s；另一条用于车身系统的低速CAN，即娱乐总线，其传输速率为100kb/s。现在某些先进的轿车上，还有第三条CAN总线，主要负责卫星导航及智能通讯系统。,状态空间法基础,1 概述1.1状态空间法的提出,现代控制理论的研究方法是状态空间法。现代控制理论的分析与设计方法以及整个的理论体系都是建立在状态空间法的基础上。
13、,在经典控制理论中，常采用传递函数作为系统的数学模型，传递函数表达的是系统单输入与单输出之间的关系，它消除了中间变量，未提供系统的内部状态的必要信息，描述的只是系统的端部特性。但是具有相同端部特性的系统，其结构特性并非总是一样的，只知端部特性也不能充分了解一个系统的运动状况。因此，用传递函数作为系统的描述有时是不完整的，对掌握系统的全体性质往往也是不够的。,图1.1传递函数法与状态空间法的比较,状态空间法基础,现代控制理论研究高阶的复杂的多输入多输出系统，如图1.1所示，将多输入x1,x2,与多输出y1,y2,之间的信号传递关系，分成动态部分与测量部分两个部分。动态部分揭示了系统的内部状态x1
14、,x2,的变化；而测量部分则给出了系统状态x1,x2,与输出y1,y2,之间信号静态传递关系。可以将系统的微分方程归结为一阶线性微分方程组，这种方程及其解的形式简单、直观，便于采用矩阵方法及计算机进行分析、设计，便于进行实时控制，这就是状态空间法的基本思想。,状态空间法基础,1.2 相关术语1）状态系统的状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。当系统的所有外部输入已知时，为确定系统未来运动所必要与充分的信息的集合叫做系统的状态。与时间起始点有关，因此系统的状态也就是指能够完全（反映系统的全部状况）描述系统的一个最少（确定系统的状况无多余信息）变量组。2）状态变量状态变量是指完全描述系统行为的最
15、少变量组中的每一个变量。,状态变量的选取是否唯一？如何选择状态变量？,多选择容易测量的量,状态空间法基础,3）状态向量以系统的一组状态变量为分量所构成的向量称为状态向量。4）状态空间把n个状态变量分别作为n维空间的坐标轴，则此空间称为n维状态空间。系统的任一状态可以用状态空间的一个点来表示。5）控制系统的三种类型变量输入变量是给系统的行为予以不同的影响；输出变量与控制系统的要求直接有关；状态变量则反映了系统内部的时域特性且和输入、输出变量相关联。,图1.2 控制系统的三种类型变量,状态空间法基础,2 系统的状态空间表达式2.1状态方程和输出方程状态方程：输入与状态之间的状态空间表达式因系统t时
16、刻状态由t=t0时刻的初始状态向量X(t0)和t0t加在系统上的输入向量U(t0,t)唯一确定，则系统的状态方程为：输出方程：状态与输出之间的状态空间表达式同理，有,状态空间法基础,一般，控制系统的状态变量在暂态过程中是随时间变化的。因此描述系统状态的是微分方程：线性时变系统的线性变系数矩阵微分方程：系数矩阵A(t)：nn阶控制矩阵B(t)：nr阶，输入矩阵输出矩阵C(t)：mn阶直达矩阵D(t)：mr阶,状态空间法基础,当所论线性系统的特性不随时间变化时，则此线性定常系统的状态方程和输出方程将变成常系数矩阵微分方程和矩阵代数方程，即A、B、C、D为nn、nr、mn、mr阶常数矩阵,状态空间法
17、基础,例子求如图所示具有被动悬架的单自由度汽车的状态方程。解：根据牛顿定律建立车体运动微分方程为选择车体的绝对速度和相对位移为状态变量令：,状态空间法基础,式可以写为：则由前两式可得矩阵形式的状态方程为输出方程以车身速度为输出变量，则矩阵形式的输出方程为,输入引起的状态变化是一个运动过程。矩阵微分方程,状态决定输出是一个变换过程。矩阵代数方程,对于结构和参数已知的系统，建立状态方程的步骤是：选择状态变量；写出微分方程，并将其化为状态变量的一阶微分方程组；将一阶微分方程组化为向量矩阵形式即得状态空间描述。对于结构和参数未知的系统，通常只能通过辨识的途径建立状态方程。,状态空间法基础,2.2 状态
18、空间表达式的建立1）微分方程式作用函数不含导数（1）单输入u-单输出系统例子：设系统的微分方程为求系统的状态方程和输出方程解：系统的输出、输入变量为y，u选y及其1、2阶导数为状态变量则状态方程和输出方程：,A：nnB：n1C：1n,状态空间法基础,（2）多输入-多输出系统输入向量、输出向量、状态向量为：例子：如图，输入为F0、v0，输出为质量块的位移、速度、加速度求状态空间表达式。,A：nnB：nrC：mnD：mr,机械位移系统,状态空间法基础,解：微分方程式为设系统的状态变量为质量块的位移和速度系统的输入变量为：u1=F0,u2=v0输出变量为：则状态空间表达式的各项为：,状态空间法基础,
19、2）微分方程式作用函数含导数项微分方程形式为：状态空间表达式为,状态空间法基础,例子系统的微分方程为求状态方程和输出方程解：通过对比得，n=3,a0=4,a1=3,a2=2,b0=6,b1=2,b2=b3=0计算得0=0，1=0，2=2，3=2,状态空间法基础,3）由系统的传递函数写出状态空间表达式做逆变换，选取状态变量，得,Z(s),状态空间法基础,对上式分数部分的分母和分子分别表示为作拉氏逆变换，得选择n个变量为状态变量：,(*)(*),（？）,状态空间法基础,利用（*）式得到系统的状态方程利用（？）式得到系统的输出方程,状态空间法基础,例子已知传递函数求状态方程和输出方程解：通过比较，得
20、状态方程和输出方程为,状态空间法基础,3 状态方程的解简介在建立了控制系统的状态空间表达式后，更重要的问题是确立系统在时间域中的解，以便进一步计算出评价控制系统的性能指标。由微分方程理论可知，一个线性非齐次微分方程的解是它对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解之和。3.1连续型线性定常系统齐次方程的解对连续系统的定常齐次方程求通解。,状态空间法基础,1）用级数法求解设得2）拉氏变换法求解考虑初始条件，得3）转移矩阵,矩阵指数函数,状态空间法基础,矩阵指数函数的性质、计算方法略转移矩阵性质略3.2连续型线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程一般表达式为用拉氏变换法求解，得,状态空间法基
21、础,连续型系统的离散化问题略3.3 线性时变系统状态方程的解用状态空间法分析控制系统的优越性之一就在于它能推广到线性时变系统。也分为：线性时变系统齐次方程的解；线性时变系统非齐次方程的解。,状态空间法基础,4 传递函数矩阵与系统交连的解耦4.1由状态空间表达式确定单输人单输出系统的传递函数状态方程和输出方程为：输出y与输入u在零初始条件下的拉氏变换之比就是传递函数：,传递函数G(s),状态空间法基础,4.2多输入多输出系统的传递函数矩阵状态方程和输出方程通过与单输入单输出系统相类似的推导，可得到多输入多输出系统的传递函数矩阵为4.3闭环系统的传递函数矩阵,状态空间法基础,4.4多输入多输出系统
22、的解耦问题1）问题的提出 许多工程中的实际系统往往是存在交连耦合影响的多输入多输出系统。人们常常希望一个输入的变化只对一个输出有影响，这样便可方便地通过施加输入控制作用将对应的输出控制在所希望的数值上，这就需要消除系统的交连耦合。,状态空间法基础,图示出了对蒸汽锅炉进行控制的原理方块图。作为控制对象的锅炉有三个输入(即燃料消耗r1、给水消耗r2及蒸汽消耗r3)和三个输出(即汽鼓压力y1、水位y2及蒸汽消耗y3)，如图中的虚线所示，r1对y1、y2都有影响，r2对yl、y2也有影响，r3只对y3有影响。这里希望能消除系统的交连耦合。这个问题可以通过在对象前面增设补偿器来解决。最后达到控制u1调节
23、y1、控制u2调节y2的目的，而u3=r3=y3无需进行补偿与解耦。2）消除交连的条件,图 加补偿器的闭环系统,状态空间法基础,对象的传递函数矩阵Gp(s)为nn阶矩阵；补偿器的传递函数矩阵为Gc(s)，也是nn阶矩阵。将它们构成如图所示闭环控制系统。该系统消除交连的条件就是闭环传递函数矩阵G(s)为对角矩阵，即根据上图和公式 可得解耦条件下补偿器的传递矩阵,线性系统的可控性与可观测性概要,当采用状态空间法对控制系统进行设计时，首先要遇到系统的可控性与可观测性问题。1 概述1.1为了实现最优控制必须使系统具有可控性和可观测性系统设计就是要设计出满足给定性能指标的系统：经典控制理论的设计方法为试
24、探法，现代控制理论就是能以某个性能指标为目标设计一个最优控制器，使系统成为最优控制系统。为了设计最优控制器，首先要判断通过系统的输入能否控制全部状态的变化。其次为了实现最优控制就需要获得系统状态的全部信息，这就需要判断通过观测系统的输出能否确定系统的状态。,线性系统的可控性与可观测性概要,1.2 经典控制理论中没有提出可控性与可观测性问题采用传递函数法时只研究输入u(t)与输出y(t)之间的关系。状态度量是位置y，观测的输出也是位置y，输入u所控制的变量也是位置y。系统内部的其他状态都被掩盖了。而y往往既是可控的也是可观测的。因此在经典控制理论中并未提出可控性与可观测性的问题。1.3状态空间法
25、提出了可控性与可观测性的问题1960年，卡尔曼在研究状态空间法时发现了可控性与可观测性问题。,线性系统的可控性与可观测性概要,上图系统的微分方程为表达为状态空间表达式形式，得对比两式，并将其推广至有r个输入和m个输出的n阶系统的一般情况可以看出，采用传递函数法看不到系统的n个状态x1,x2,，xn与r个输入u1,u2,ur的关系；而对于状态空间法，由于采用了输入状态输出的这种信号分段传送的表示方法，这就揭示了系统的状态变化。,线性系统的可控性与可观测性概要,状态方程描述了输入作用引起状态变化的情况，这就提出了一个问题：输入对系统的状态是否都能控制?如果系统能够在输入作用下从一种状态达到另一种状
26、态，系统就是可控的；否则就是不可控的。输出方程描述了状态变化引起输出变化的情况，这又提出了一个问题：系统的全部状态能否通过输出反映出来?如果系统的状态可以根据输出的观测值确定出来，系统就是可观测的；否则就是不可观测的。这就明确地提出了系统的可控性与可观测性问题。,线性系统的可控性与可观测性概要,2 可控性2.1 定义如果在有限实际区间t0t=tf内，存在一个任意取值的控制u(t)，能使系统从初始状态X(t0)转移到任何另一状态，则称此系统在t0时刻的状态X(t0)为可控的。如果在有限时间内，对任何t0下的状态都可控，则称此系统是状态完全可控的。,可控性是系统的一种内在性质，是系统在输入作用下其
27、内部状态能够转移能力的标志，它仅仅取决于系统状态方程中矩阵A和B的形态。,线性系统的可控性与可观测性概要,2.2 线性定常系统可控性判别的第一种方法1）连续型系统应用：矩阵指数函数，可控性矩阵 判别。可控性矩阵Qc为满秩，则系统完全可控。（略）2）离散型系统应用：可控性矩阵 判别。可控性矩阵Qc为满秩，则系统完全可控。（略）,线性系统的可控性与可观测性概要,2.3 线性定常系统可控性判别的第二种方法可控性矩阵Qc不为满秩时使用。设n阶线性定常系统，状态方程为1）系统矩阵A的特征值互不相同A的特征值为1，2，n，则可通过非奇异变换矩阵P将A变为对角矩阵，即,A：nnB：nrX(t)：n1U(t)
28、：r1,线性系统的可控性与可观测性概要,式中，PP1 P2 Pn为nn阶矩阵，其中P1 P2 Pn分别为与A的特征值1，2，n对应的特征向量。令XPZ，代入状态方程式并作整理，得如果矩阵P-1B不含整行元素为零的行，则系统是可控的；如果矩阵P-1B 某行元素全部为0，则与该行对应的状态变量不能得到输入向量U(t)中任何分量的控制。,线性系统的可控性与可观测性概要,2）系统矩阵A含有重特征值1（m1重），2（m2重），k（mk重）mj=n，则可通过非奇异变换矩阵Q将A变为约当标准型J，即式中，J1，J2，Jk分别为与1，2，k相对应的约当小块。如果矩阵Q-1B中与每个约当小块最后一行对应的各行不
29、含整行元素为0的行，则系统的状态完全可控；如果矩阵Q-1B 中与某个约当小块最后一行对应的行整行元素均为0，则与该行对应的状态变量不可控。,线性系统的可控性与可观测性概要,2.4 线性定常系统的输出可控性 系统可控性是针对系统状态来说的，然而，在分析与设计控制系统时，一般多以系统的输出而不是状态作为系统的控制量，故还必须研究系统的输出可控性。设线性定常连续系统，其状态方程和输出方程分别为如果存在一个幅度上无约束的分段连续的控制作用向量U(t)，能在有限的时间间隔(t0,tf)内，将任一初始输出Y(t0)转移到终了输出Y(tf)，则称上述线性定常连续系统为 输出完全可控的。,A：nnB：nrC：
30、mnD：mrX(t)：n1U(t)：r1,线性系统的可控性与可观测性概要,判断输出完全可控的充要条件是，m(n+1)r 阶输出可控矩阵的秩等于输出变量个数，即例子设线性定常连续系统状态方程和输出方程为分析该系统的输出可控性与状态可控性。,线性系统的可控性与可观测性概要,解：由状态方程和输出方程可知输出可控性矩阵的秩，它与输出变量数m1相等，所以系统输出完全可控。状态可控矩阵的秩，它小于系统的阶数n2，所以系统状态不完全可控。,线性系统的可控性与可观测性概要,3 可观测性3.1 定义如果系统在初始时刻t0=t时的状态X(t0)，可在一个有限的时间间隔t0t=tf内，通过输出变量的观测值Y(t)来
31、确定，则称系统在时刻t0 的状态X(t0)为可观测的。如果系统在所讨论的区间上均为可观测的，则称系统为完全可观测。对于线性定常系统而言，如果在某时刻t0 时的状态X(t0)可观测，则系统一定完全可观测。3.2 线性定常系统可观测性的判别方法1）连续型系统线性定常连续系统的状态方程和输出方程分别为,线性系统的可控性与可观测性概要,根据线性定常系统非齐次方程求解过程表达式，得出系统在t时的状态代入输出方程，得,A：nnB：nrC：mnD：mrX(t)：n1U(t)：r1Y(t)：m1,线性系统的可控性与可观测性概要,对于已知系统，A，B，C，D及U(t)已给定，上式中第二项及第三项均已给定了，此研
32、究系统的可观测性就只需要研究上式的第一项了。不失一般性，假设根据凯勒-哈密顿定理，上式可表示为：,可观测性矩阵Q0，每一项均为mn阶,线性系统的可控性与可观测性概要,为了通过观测Y(t)能够确定X(0)，即系统的状态完全可观测的充要条件是mnn阶可观测性矩阵Q0为满秩矩阵，即Q0的秩为n。例子如图，示出了自动搜索平衡系统(又叫做倒立摆平衡车)的原理图。它包括一个小车和一个倒置摆。给小车上施加外力u，使质量块保持平衡在垂直位置上。这是火箭助推器稳定性的典型应用。它“平衡”于自己推力的向量方向。将问题简化，使车与摆只在一个平面内运动。图中z为质量块的位置，为摆与垂线的交角。选系统的状态变量为，系统
33、的输人为u，输出为yz。,线性系统的可控性与可观测性概要,系统本来是不稳定的，如果不外加控制力，杆必然会倒下来。给出系统的状态方程、输出方程为：试判断系统的可观测性。解：A阵 C阵 则,Q0满秩，系统为可观测。,线性系统的可控性与可观测性概要,2）离散型系统（略）4 可控标准形与可观测标准形4.1可控标准形与可观测标准形的形式1）可控标准形系统的微分方程为：设状态变量,（#）,线性系统的可控性与可观测性概要,得状态方程（矩阵形式）系统的输出方程为Y=CX由于系统的可控性矩阵只与矩阵A、B有关，与C无关，所以将式(*)所示的矩阵A与B的形式称为可控标准形，又叫做相变量标准形。,（*）,线性系统的
34、可控性与可观测性概要,2）可观测标准形对（#）式所述系统，两边进行拉氏变换，并整理。选取如下n个状态变量：则可得状态方程系统的输出方程Y=CX,线性系统的可控性与可观测性概要,由于系统的可观测性矩阵只与A、C的形式有关，与B的形式无关，所以将式(%)所给出的矩阵A与C的形式称为可观测标准形。,（%）,线性系统的可控性与可观测性概要,3）可控标准形与可观测标准形的关系 由式(#)给出的同一系统既可以表示成可控标准形，又可以表示成可观测标准形，那么这两种标准形之间必有一定的关系。将式(*)与式(%)进行对比可知，可控标准形的矩阵A、B与可观测标准形的矩阵A、C互为转置矩阵。,线性系统的可控性与可观
35、测性概要,4.2 可控标准形的可控性质 可控标准形的可控性有下列性质。（1）若系统的状态方程是可控标准形，则系统是可控的。（2）若系统满足可控性，则必存在一个非奇异变换YPX，将状态方程化为可控标准形。（证明略）,线性系统的可控性与可观测性概要,4.3 可观测标准形的可观测性质 与可控标准形的情况相类似，不难证明对于可观测标准形也存在着下面的性质。（1）若系统为可观测标准形，则系统是可观测的。（2）若系统是可观测的，则必存在一个非奇异变换XTZ，将状态方程化为可观测标准形。（证明略）,线性系统的可控性与可观测性概要,5 极点配置系统的可控性与可观测性应用：如果系统是可控的与可观测的，则可以通过
36、设计一个带状态反馈(或还带状态观测器)的闭环控制系统，使系统具有给定的极点位置，从而改善系统的动态品质。5.1 可控系统的特征方程 设线性系统的系统矩阵(或称为状态矩阵)为A，则该系统的特征方程为特征方程的根称为特征根，也就是系统的极点，它对系统的动态品质有很大的影响。,（￥）,线性系统的可控性与可观测性概要,当系统是可控的，则可通过上一节所介绍的变换，将系统变换为可控标准形。此时矩阵 A、B具有如下的形式一旦系统的状态方程化为可控标准形时，便可立即写出系统的特征方程。将上式中的A阵代入式(￥)并进行运算可得系统的特征方程为,线性系统的可控性与可观测性概要,5.2 状态反馈下图示出了带状态反馈
37、的系统方块图，图中Kk1 k2 kn 为1n阶的行向量，称为反馈阵。闭环系统的方程可写成,带状态反馈的系统方块图,带状态反馈的闭环系统的系统矩阵,线性系统的可控性与可观测性概要,将上图进行等效的结构变换可得下图(a)，进而可变成下图(b)。将下图(b)与上图对比，可得闭环系统的特征方程为可以证明，当A、B阵为可控标准形时，只要适当地设计反馈阵K，就能使系统的极点（即特征方程sI一(ABK)0的特征根）配置在任意给定的位置上。,系统的结构变换,线性系统的可控性与可观测性概要,例子已知线性系统的传递函数为试设计一个状态反馈闭环系统，将其极点配置在-2，-1+j，-1-j。解：根据状态空间法介绍的方
38、法，由系统的传递函数可得其状态方程为是一个可控标准形，a2=3,a1=2,a0=0。,线性系统的可控性与可观测性概要,现在需要将极点配置在-2，-1+j，-1-j，则加状态反馈后得闭环系统的特征方程为：由上式得得得反馈矩阵为K=4 4 1下图示出了所设计的带状态反馈的闭环系统的方块图。,线性系统的可控性与可观测性概要,带状态反馈的闭环系统,线性系统的可控性与可观测性概要,6 状态观测器简介前面讲过为了进行极点配置需要进行状态反馈；进而，为了实现最优控制也需要状态反馈。当系统的部分状态不能直接获得时，就需要用状态观测器来重建系统的这部分状态(即状态的重构)。6.1实现闭环控制需要状态观测器在经典
39、控制理论中，为了控制一个物理量，必须先量测出这个量，然后通过反馈形成闭环控制系统。因此常见的单输入单输出系统其开环部分必须是可控的与可观测的，否则就谈不上形成闭环控制了。而控制对象和控制器都是用传递函数表示的，如下图所示。控制系统的设计都是建立在传递函数的基础上的。,单输入-单输出系统结构,线性系统的可控性与可观测性概要,在现代控制理论中，特别是对于最优控制系统，也存在着类似的问题。最优控制信号是由系统的状态变量形成的。必须先得到系统的状态才能形成控制信号。下图表示出了系统的状态能够直接得到的情况，即不带状态观测器的最优控制系统。,线性系统的可控性与可观测性概要,然而在工程上有时只有部分的状态
40、变量能直接由测量元件获得。例如一个五阶的机械运动系统有5个状态变量，通常只能直接测得运动物体的位置、速度和加速度这三个状态变量，而另外两个状态就无法用测试手段获得。然而要得到最优控制信号，五个状态变量必须都能得到。这里要强调第三节讲的一个概念，可观测和可测量是两回事，能测量的物理量一定是可观测的，但可观测的物理量不一定能直接测量出来。为了实现状态反馈，系统必须是可观测的，而对于其中不能直接测量出来的物理量可以用观测器获得，以便形成最优控制信号，如下图所示。观测器以对象的输入和输出为输入，它的输出则是估计状态。对上面所说的五阶机械运动系统，只要观测出两个不能直接测量的状态变量就行了。,线性系统的
41、可控性与可观测性概要,带状态观测器的最优控制系统,线性系统的可控性与可观测性概要,6.2 状态观测器设计简介为了得到系统的估计状态，当系统的A、B、C矩阵已知时，可以用计算机来模拟原系统，即构成一个与实际系统具有同样状态方程与输出方程的模型。从模型中获得状态的估计值。获得估计值的模型有：（1）获得估计状态的开环模型（2）获得估计状态的闭环模型（略）,线性系统的可控性与可观测性概要,例子：油气悬架整车的振动状态观测器设计簧载质量的垂向振动速度和位移等难以通过传感器测量得到。目前比较可行的方法是通过设计状态观测器，利用方便测量的已知状态来观测不易测量的未知状态。状态观测器算法：卡尔曼滤波算法、龙贝
42、格观测器等。龙贝格观测器是基于现代控制理论，通过配置误差动力学方程的极点位置使得观测值与测量值的误差收敛于零，实现对未知状态的估计，观测器性能与被观测系统的动力学方程和极点位置有密切的关系。,线性系统的可控性与可观测性概要,采用悬架动行程和油缸压力作为龙贝格观测器的测量对象，以油气悬架油缸压力为状态观测器的输入，以悬架动行程误差作为反馈。龙贝格状态观测器的作用是根据测量得到的油缸压力和悬架动行程，观测估计出簧载质量的垂向、俯仰和侧倾的运动状态,线性系统的可控性与可观测性概要,油气悬架整车振动状态观测器仿真验证原理,线性系统的可控性与可观测性概要,驾驶员处车箱底板垂向振动加速度,线性系统的可控性与可观测性概要,左前悬架动行程,
