静态场及其边值问题.ppt

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1、1,第4章 静电场分析,主要内容：1.建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程及电介质的特性方程2.将静电场的求解归结为电位问题的求解，导出泊松方程和拉普拉斯方程3.静电场问题在工程中的应用：电容的计算，电场能量及静电力的计算。,2,本章章节安排如下：4.1静电场分析的基本变量4.2真空中静电场的基本方程4.3电位4.4泊松方程4.5电介质的极化 极化强度4.6介质中的高斯定律 边界条件4.7恒定电场分析4.8静电场基本方程的应用,3,4.1静电场分析的基本变量,静电场是由静止电荷(或恒定的电荷)产生的，所以电荷分布 是静电场的源变量。它是一种标量性质的源变量，因而静电场是一种有散度的矢量场

2、。,电场强度 是场变量，它表示电场对带电质点产生作用的能力。,物理学知识告诉我们，任何物质都是由分别带正电荷(原子核)负电荷(电子)的粒子组成的，这些带电粒子之间存在相互作用。当物质被引入电磁场时，它们将和电磁场产生相互作用而改变其状态。从宏观效应看，物质对电磁场的响应可分为极化、磁化和传导三种现象。不同物质，其带电粒子之间相互作用力往往差异很大。导体中，带正电荷的原子核与带负电荷的电子间的相互作用力小，即使在微弱的外电场下，电子也会发生定向移动。在这里，传导是主要现象。电介质的主要特征是电子和原子核结合得相当紧密，电子被原子核,4,紧紧束缚住。相应地把电介质的电荷称为束缚电荷。在外电场作用下

3、，束缚电荷只能做微小位移，在这里，极化是主要现象。研究物质的磁效应时，把物质称为磁介质，磁化是磁介质的作用现象。,如果研究物质空间内的电场，仅用电场强度一个场变量就不能完全反应物质内发生的静电现象。因为当物质内存在电场时，构成物质的带电粒子将在电场强度作用下出现运动或移动。这就需要另一个场变量来描述这一现象的本质。电介质内存在电场时，电介质内的束缚电荷在电场作用下会出现位移现象。一般用单位面积上位移穿过的束缚电荷量来表示电场的另一基本变量，称为电通密度(电位移)C/m2。,5,法拉第在19世纪40年代，利用他自己提出的电感应线概念，从实验中得到：无界均匀介质中，点电荷周围的电位移,另一方面实验

4、又证明，在各向同性的材料内，空间某处的 和 成正比,为电介质的介电常数，单位为F/m。,所以，分析静电场时，需要三个基本变量：一个源变量。两个场变量 和，除此外，还需要表示电介质材料特性的参数，一般称为材料的特性方程或本构关系式。,6,4.2真空中静电场的基本方程 分析求解电磁问题时，可分两种方法：积分方程法和微分方程法。不管用什么方法，由矢量场分析的角度看，都必定涉及到矢量在闭合面上的通量特性和矢量在闭合回路上的环流量特性，所得方程式称为场的基本方程的积分形式。,真空中静电场的基本方程为,(1)(2),(1)式称为真空中的高斯定律。它表明基本变量 在闭合面S的通量特性；(2)式称为静电系统的

5、守恒定理，它表明基本变量在闭合回路上的环流量特性，说明静电场是一种守恒性的矢量场。,7,真空中静电场空间电介质特性方程为(3),立体角：若ds为半径为R的球面上的任一面元，则ds可构成一个以球心为顶点的锥体，取ds与R2的比值定义为ds对球心所张的立体角。用 表示。,单位Sr(球面度),若ds不是球面元，则它对o点所张的立体角为：以o点为球心，o点到ds的距离R为半径作一球面，取ds在球面上的投影 与R2的比值，即为面元ds对o点所张的立体角。,8,一个任意形状的闭合面对一点o所张的立体角分两种情况:(1)o点在闭合面内，以o点为球心，任意半径作一个球面，则闭合面上任一面元对o点所张的立体角也

6、就是它对o点构成的锥体在球面上割出的球面元所张的立体角。即该任意闭合面对o点所张的立体角和球面对o点的立体角相等，为。(2)o点在任意闭合面之外，则此闭合面对o点所张的立体角为0。因为闭合面的两个部分表面的立体角等值异号。（见图4-2）,9,若无界真空中有一个点电荷，则,是面元ds对点q所张的立体角，整个积分是闭合面对点q所张的立体角，因此,10,Q在闭合面内Q不在闭合面内,如果无界真空中有N个点电荷q1,q2,qk,qk+1,qN,而此闭合面s内有q1,q2,qk,则闭合面s上的通量为,11,当电荷以体密度 分布时，,所以,此即高斯定律的微分形式。,12,在点电荷q的电场中任取一条曲线连接A

7、,B两点，则电场沿曲线的线积分,当A，B重合时,利用斯托克斯定理,13,说明静电场是无旋场，一定为保守场。,总结真空中静电场的基本方程,当已知 时，通过，联立求解上述两个矢量方程就能求得。因为根据亥姆霍兹定理，只有在给定矢量场的散度方程与旋度方程的条件下，才能唯一地确定此矢量场。但当电荷分布具有一定的对称性时，选择适当的坐标系，使,14,或 只有一个坐标分量，且仅是该坐标变量的函数，则 成立。因此只要求解(或)，就能得到场解。,15,*利用高斯定理计算电场强度,在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。,具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：,球对称分布：包括均匀带电的

8、球面，球体和多层同心球壳等。,16,轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。,无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。,17,例1电荷按体密度 分布于一个半径为a的球形区域内，其中 为常数。试计算球内外的电通密度。,解：电场明显具有球面对称性，沿半径方向且大小只是r的函数。球的电荷总量为,当，以球心到场点的距离为半径作一球面（高斯面），应用高斯定律的积分形式，得,18,当 时，应用高斯定律得,19,例2计算均匀电荷面密度为 的无限大平面的电场。解：由于均匀面电荷发出的电通密度 垂直于无限大平面，取一个柱形闭合面，左右底面积 与电荷平面平行且等距；侧面垂直于电荷平面，则根据

9、高斯定律,用矢量表示时，为,Z0,Z0,20,例3在半径分别为a和b的两个同心导体球壳上，均匀分布着面密度分别为 和 的电荷。求：（1）任一点的电场强度。（2）欲使rb处的，则 和 应具有什么关系。,解:(1)由于电场分布具有球对称性，故可作与导体球壳同心，半径为r的高斯面，根据高斯定律,在ra的区域有,21,在arb区域有,在rb的区域有,(2)欲使rb处，应有,22,例4.有一半径为a的球形电荷分布，球内外的介电常数，已知球体内的 求（1）球内电荷分布（2）球体外的电场强度,解:(1)利用高斯定律,23,(2),24,由,即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静电场的标量电

10、位或简称电位。,1.电位函数的定义,4.3 电位,25,2.电位差,上式两边从点A到点B沿任意路径进行积分，得,关于电位差的说明,A、B两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从A点移至B 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位差也称为电压，可用U 表示。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。,26,静电位不唯一，可以相差一个常数，即,选参考点,令参考点电位为零,电位确定值(电位差),两点间电位差有定值,选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。同一个问题只能有一个参考点。,3.电位参考

11、点,为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即,27,4.电位的表达式,若任意选取B(xB,yB,zB)作为电位的参考点(取)，则A(xA,yA,zA)点的电位为,对于点电荷，其电位为,28,对于体电荷、面电荷、线电荷的电位，可用场源积分法，分别求得,体电荷,面电荷,线电荷,以上三个积分公式中，为场点的位置矢量，为源点的位置矢量。,29,例 求电偶极子的电位.,解 在球坐标系中,用二项式展开，由于，得,代入上式，得,表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。,30,将 和 代入上式，解得E

12、线方程为,由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度,矢量线微分方程：,等位线方程：,31,解 采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。在带电线上位于 处的线元，它到点 的距离，则,例4.3.2 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。,32,33,在上式中若令，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为,当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有,并选择有限远处为电位参考点。例如，选择r=a 的点为电位参考点，则有,34,例证明导体表面的

13、电荷密度 与导体外的电位函数有如下关系,其中 是电位对表面外法线方向的导数。,证明：由物理学知识可知：带电导体内静电场为零，导体是一个等位体，电荷分布在导体的表面。在导体表面作一柱形闭合面，两底面 分别位于表面两侧，高。由于 相当小，可以认为 上各点的 值相同。在计算此闭合面上的电通量时，考虑到导体表面内侧上没有电通量，表面外的电场与表面垂直，即 或,因此根据高斯定律有,35,即,若导体内充满介电常数为 的电介质，则导体表面的面电荷 与表面处的电通密度 或电场强度 之间的关系为,36,4.4泊松方程 拉普拉斯方程 在无界空间内，已知场源电荷分布时，可根据场源积分法，算出电位和电场强度。但静电问

14、题不仅仅涉及已知电荷分布且没有边界的情况，在很多情况下，我们遇到的问题都涉及到有限空间区域。在有限区域内可以有电荷，也可以没有电荷，但在有限区域的边界上都具有一定的边界条件。在这些给定边界条件下求解有限区域内场的问题，称为边值问题。所以，求解静电场边值问题时，需要确定两个条件1)电位所满足的方程2)边界条件。,37,在无源区域，,泊松方程 拉普拉斯方程,38,边值问题类型,不管是求泊松方程还是拉普拉斯方程，都需要一定的边界条件，如电荷分布，电位及电位法向导数等，这些都叫边界条件。静电场的边值问题就是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。这种求解称为偏微分方程。在场域V的边界面S上给定的

15、边界条件有以下三种类型，相应地把边值问题分为三类：第一类边界条件是已知位函数在场域边界面S上各点的值，即给定这类问题称为第一类边值问题或狄里赫利问题；,39,第二类边界条件是已知位函数在场域边界面S上各点的法向导数值，即给定这类问题称为第二类问题或纽曼问题；第三类边界条件是已知一部分边界面S1上位函数的值，而在另一部分边界面上S2已知位函数的法向导数值，即给定这里S1+S2=S。这类问题称为第三类边值问题或混合边值问题。如果场域延伸到无限远处，还必须给出无限远处的边界条件。对于源分布在有限区域的情况，在无限远处的位函数应为有限值，,40,即给出称为自然边界条件。此外，若在整个场域内同时存在几种

16、不同的均匀介质，则位函数还应满足不同介质分界面上的边界条件。,41,唯一性定理 唯一性定理是边值问题的一个重要定理，表述为：在场域V的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内具有唯一解。采用反证法证明。设在边界面S包围的场域V内有两个函数 和 都满足泊松方程，即,令，则在场域V内,42,由于,将上式在整个场域V上积分并利用散度定理，有,对第一类边值问题，在整个边界面S上,对第二类边值问题，在整个边界面S上,43,对第三类边值问题，在边界面的S1部分上,在边界面的S2部分上,无论哪一类边值问题，都将使,这表明在整个场域V内,44,对第一类边值问题，由于在边界面S上,所以C=0

17、。故在整个场域V内有,对第二类边值问题，若 与 取同一个参考点，则在参考点处在,所以C=0。故在整个场域V内有。,对第三类边值问题，由于，所以C=0，故在整个场域V内也有。,45,唯一性定理具有非常重要的意义，首先，它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界面S上的任一点只需给定 或 的值，而不能同时给定两者的值。其次，唯一性定理也为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据，为求解结果的正确性提供了判据。根据唯一性定理，在求解边值问题时，无论采用什么方法，只要求出的位函数既满足相应的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足给定的边界条件，则函数就是所求出的唯一正确解。,46,例两块无限大接地导

18、体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面密度为 的均匀电荷分布。求两导体平板之间的电位和电场。,o,b,a,x,y,解：在两块无限大接地导体板之间，除x=b处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程,47,方程的解为,利用边界条件，得,48,于是有,由此解得到,最后得,49,50,4.5电介质的极化 极化强度,电介质的极化,任何物质的分子都是由原子组成的，而原子都是由带正电的原子核和带负电的电子组成，整个分子中电荷的代数和为零。在远离分子的地方，分子中全部负电荷的影响可以用一个负的点电荷等效，这个等效负电荷的位置称为这个负电荷的中心。同样，分子

19、中全部正电荷也可以用一个正的点电荷等效，这个等效正点电荷的位置称为这个分子正电荷的中心。当没有外电场时，如果电介质分子中正负电荷的中心是重合的，这类电介质称为无极分子电介质；如果电介质分子中正负电荷的中心不重合，这类电介质称为有极分子电介质；有极分子电介质,51,在没有外电场时，无极分子电介质的分子中没有电矩。加上外电场，在电场力的作用下，每个分子中的正负电荷中心被拉开一定距离，形成一个电偶极子，分子电矩的方向沿外电场的方向。外电场越强，每个分子中的正负电荷的中心被拉开的距离越大，一定体积中分子电矩的矢量和也越大。无极分子的这种极化机理称为位移极化。在没有外电场时，虽然有极分子电介质中每一个分

20、子都具有固有电偶极矩，但由于分子的不规则热运动，分子电矩的排列是杂乱无章的，在任一体积中，所有分子电矩的矢量和为零。加上外电场，分子电偶极矩的取向趋于电场方向，于是一定体积中分子电矩的矢量和就不再为零，有极分子的这种极化机理称为取向极化。,中正负电荷的中心错开一定的距离，形成一个电偶极矩，称为分子的固有电矩。,52,无论是无极分子电介质，还是有极分子电介质，在外电场中被极化，均匀电介质内部的电荷相互抵消，一个端面上出现正电荷，另一个端面上出现负电荷，这就是极化电荷。极化电荷与导体中的自由电荷不同，不能自由运动，也称为束缚电荷。,53,电介质极化的结果是电介质内部出现许许多多顺着外电场方向排列的

21、电偶极子，这些电偶极子产生的电场将改变原来的电场分,布。可以这样说，电介质对电场的影响可归结为极化电荷产生的附加电场的影响。因此，电介质内的电场强度 可视为自由电荷产生的外电场 与极化电荷产生的附加电场 的叠加，即。为了分析计算极化电荷产生的附加电场，需了解电介质的极化特性。不同的电介质的极化程度是不一样的，为此引入极化强度来描述电介质的极化程度。将单位体积中的电偶极矩的矢量和称为极化强度，表示为,54,体积V中第i个分子的平均电偶极矩,(C/m2),55,的物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。,极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、各向同性的电介质中，与电场强度成正比，即

22、,电介质的电极化率,极化强度 是一个宏观矢量函数。若电介质的某区域内各点的相同，则该区域是均匀极化的，否则就是非均匀极化的。,56,在均匀极化的状态下，闭合面S内的电偶极子的净极化电荷为零，不会出现极化电荷的体密度分布。对于不均匀极化状态，电介质内部的净极化电荷不为零。但在电介质的表面，不论是均匀极化还是非均匀极化，介质表面(两介质分界面)上一定有束缚电荷的面积分布。,极化电荷与极化强度的关系,(1)极化电荷体密度,在电介质中的任一闭合面S上取一个面积元，其法向单位矢量为。以 为底、为斜高构成一个体积元。显然，只有电偶极子中心在 内的分子的正电荷才穿出面积元。,57,因此，从S 穿出的正电荷为

23、。留在S内的极化电荷为,(2)极化电荷面密度,紧贴电介质表面取如图所示的闭合面，从该闭合面穿出的极化电荷就是电介质表面上的极化电荷。,故得电介质表面的极化电荷面密度为,设电介质单位体积中的分子数为N，则穿出面积元 的正电荷为,58,电介质的分类(1)线性和非线性介质极化强度 是电场强度 的函数，的各分量可由电场强度 的各分量的幂级数表示，在直角坐标系中有,如果电介质的极化强度 的各分量只与电场强度 的各分量的一次项有关，与高次项无关，且 的各分量与 的各分量成线性关系，这种介质称为线性介质，否则即为非线性介质。在直角坐标系中，线性介质 的各分量与 的各分量之间的关系可以用矩阵式,（式1）,59

24、,表示为,（2）各向同性与各向异性介质,如果电介质内部某点的物理特性在所有方向上都相同，与外加电场 的方向无关，这种介质称为各向同性介质，否则称为各向异性介质。对于各向同性介质，上式中比例系数与电场方向无关，即，极化强度 和电场强度 的关系可表示为,（式2）,(式3),其中比例系数 称为电介质的极化率。对于线性介质，是与 无关的常数。,60,即极化强度矢量与电场强度矢量方向相同。对于线性、各向同性电介质，式3中的 是与 无关的常数。,（3）均匀介质和非均匀介质,如果电介质内的介电常数 处处相同，与空间位置无关，即则称这种介质为均匀介质，否则为非均匀介质。,本书重点讨论线性、各向同性的均匀电介质

25、中电场的特性，满足如下的关系,61,4.6介质中的高斯定律 边界条件,介质的极化过程包括两个方面：外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状 态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服 从同样的库仑定律和高斯定理。,介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，将真空中的高斯定理延伸到介质中，可写为,介质中的高斯定律,62,将极化电荷体密度表达式 代入，有,引入电位移矢量（单位：C/m2),则有,其积分形式为,小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为,（微分形式），,（积分形式）,63,在这种情况下,其中 称为介质的介电常

26、数，称为介质的相对介电常数（无量纲）。,4.6.2 电介质的本构关系,极化强度 与电场强度 之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，和 有简单的线性关系,64,介质中的电位方程,在介质空间内，,65,边界条件,不同介质的分界面上总有束缚电荷的面积分布，这些电荷要影响场的分布，使电场在越过分界面时引起阶跃变化，使得分界面两侧的值不同，因此把分界面两侧场变量之间的关系称为介质交界面上的边界条件。介质交界面上的边界条件只能由基本方程的积分形式导出。把分界面上的场 变量分解为平行于分界面的分量（切向分量）和垂直于分界面上的分量（法向分量），分界面的法向正方向为介质2指向介质1。,66,(1)

27、的边界条件,在两种媒质的交界面上任取一点P，作一个包围点P 的扁平圆柱曲面S，如图表示。,令h 0，则由,即,当分界面上无自由电荷时，则有,67,由 和,若介质分界面上无自由电荷，即,导体表面上电位的边界条件：,常数，,68,在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令h 0，则由,取回路包围的矩形面积的法向单位矢量为s,则有,(2)的边界条件,69,即在不同介质分界面上电场强度的切向分量是连续的。,设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离l0时,70,在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为,或,场矢量的折射关系,导体表面的边界条件

28、,71,例平行板电容器由两块面积为S，相隔距离为d的平行导体板组成，极板间填充介电常数为的电介质，求电容量.（见图）,解：极板间电压为U，忽略边缘效应，则拉普拉斯方程为,利用边界条件,得,+,+,+,-,-,-,-,-,-,+,+,+,x,o,z,U,d,72,由导体和介质间的边界条件可得，上、下极板间的面电荷密度分别为 和，其中,所以，极板间所带电量,故电容量,73,例同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，其间充满相对介电常数为 的介质，当外导体接地，内导体电压为U0时，求（1）介质中的电场强度和电通密度；（2）介质中的极化电荷分布；（3）同轴线单位长度的电容。,解:(1)设内导体单位长度

29、的线电荷密度为l，由高斯定理得,74,由内外导体间的电位差,(2),75,r=b处的,r=a处的,76,(3),77,电容器广泛应用于电子设备的电路中：,导体系统的电容及部分电容,在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。,通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。,在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。,4.8静电场基本方程的应用,78,电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。,孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即,1.电容,孤立导体的电容,两个带等量异号电

30、荷（q）的 导体组成的电容器，其电容为,电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。,79,(1)假定两导体上分别带电荷+q 和q；,计算电容的方法一：,(4)求比值，即得出所求电容。,(3)由，求出两导体间的电位差；,(2)计算两导体间的电场强度E；,计算电容的方法二：,(1)假定两电极间的电位差为U；,(4)由 得到;,(2)计算两电极间的电位分布；,(3)由 得到E;,(5)由，求出导体的电荷q；,(6)求比值，即得出所求电容。,80,解：设内导体的电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当 时

31、，,例 同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。,81,例 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D a，求传输线单位长度的电容。,解 设两导线单位长度带电量分别为 和。由于，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为,两导线间的电位差,故单位长度的电容为,82,例4.8.3 同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内外导体间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。,内外导体间的电位差,解 设同轴线的内、外导体单位长度带电

32、量分别为 和，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为,故得同轴线单位长度的电容为,83,2.部分电容,在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念加以推广，引入部分电容的概念。,在由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为,式中：,自电位系数,互电位系数,（1）电位系数,84,i j 在数值上等于第i 个导体上的总电量为一个单位、而其余 导体上的总电量都为零时，第 j 个导体上的电位，即,i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和

33、带电量无关；,具有对称性，即i j=j i。,i j 0；,电位系数的特点：,85,若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为,式中：,自电容系数或自感应系数,互电容系数或互感应系数,（2）电容系数,86,i j 在数值上等于第 j个导体上的电位为一个单位、而其余导 体接地时，第 i 个导体上的电量，即,i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；,具有对称性，即i j=j i。,i i 0、；,电容系数的特点：,87,将各导体的电量表示为,式中：,（3）部分电容,导体 i 与导体 j 之间的部分电容,导体 i 与地之间的部分电容,88,

34、Ci i 在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第 i 个导 体上的电量；,Ci j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；,具有对称性，即Ci j=Cj i。,Ci j 0；,Ci j 在数值上等于第 j 个导体的电位为一个单位、其余 导体都接地时，第 i 个导体上的电量；,部分电容的特点：,89,在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为，则比值 称为这两个导体间的等效电容。,（4）等效电容,如图所示，有三个部分电容,导线 1 和 2 间的等效电容为,导线 1 和大地间的

35、等效电容为,导线 2 和大地间的等效电容为,90,如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。,静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。,静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。,任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。,4.8.2 静电场的能量,91,1.静电场的能量,设系统从零开始充电，最终带电量为 q、电位为。充电过程中某一时刻的电荷量为q、电位为。(

36、01)当增加为(+d)时，外电源做功为:(q d)。对从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为,根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电场能量We，即,对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元dV中的电荷dV具有的电场能量为,92,故体分布电荷的电场能量为,对于面分布电荷，电场能量为,对于多导体组成的带电系统，则有,第i 个导体所带的电荷,第i 个导体的电位,式中：,93,2.电场能量密度,从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。,电场能量密度：,电场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,94,例 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场

37、能量。,解：方法一，利用 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,95,方法二：利用 计算,先求出电位分布,故,96,已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。,虚位移法：假设第i 个带电导体在电场力Fi 的作用下发生位移dgi，则电场力做功dAFi dgi，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为,其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。,具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。,4.8.5 静电力,

38、97,1.各带电导体的电位不变,此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量,系统所改变的静电能量,即,此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0，因此,2.各带电导体的电荷不变,式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。,98,解：电容器内的电场能量为,由 可求得介质片受到的静电力为,例 有一平行金属板电容器，极板面积为lb，板间距离为d，用一块介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数为）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。,99,平行板电容器的电容为,100,设极板上保持总电荷q 不变，则,由此可得

39、,由于,同样得到,101,4.7 导电媒质中的恒定电场分析,本节内容 4.7.1 恒定电场的基本方程和边界条件 4.7.2 恒定电场与静电场的比拟 4.7.3 漏电导,102,导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。,恒定电场与静电场的重要区别：（1）恒定电场可以存在于导体内部。（2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。,恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。,4.7.1 恒定电场的基本方程和边界

40、条件,103,1.基本方程,恒定电场的基本方程为,微分形式：,积分形式：,恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度,线性各向同性导电媒质的本构关系,恒定电场的电位函数,由,若媒质是均匀的，则,104,2.恒定电场的边界条件,场矢量的边界条件,即,即,导电媒质分界面上的电荷面密度,场矢量的折射关系,105,电位的边界条件,恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；,说明：,106,如、且290，则10，即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；,若媒质1为理想介质，即 0，则

41、J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即导体 中的电流和电场与分界面平行。,107,4.7.2 恒定电场与静电场的比拟,如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。,108,恒定电场与静电场的比拟,基本方程,静电场（区域）,本构关系,位函数,边界条件,恒定电场（电源外）,109,例一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、和 2、，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。,解：极板是理想导体，为等位面，电流

42、沿z 方向。,上极板表面的自由电荷密度为,下极板表面的自由电荷密度为,110,介质交界面上的自由电荷密度为,111,例 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1 和2、电导率为 和。设内导体的电压为U0，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。,外导体,内导体,介质2,介质1,112,（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由 可得电流密度,介质中的电场,解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度 的表达式，

43、然后求出 和，再由 确定出电流 I。,113,故两种介质中的电流密度和电场强度分别为,由于,于是得到,114,（2）由 可得，介质1内表面的电荷面密度为,介质2外表面的电荷面密度为,两种介质分界面上的电荷面密度为,115,工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流 J 存在。,漏电流与电压之比为漏电导，即,其倒数称为绝缘电阻，即,4.7.3 漏电导,116,(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度 矢量J；由 得到 E;由，求出两导

44、体间的电位差；(5)求比值，即得出 所求电导。,计算电导的方法一：,计算电导的方法二：,(1)假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布；(3)由 得到E;(4)由 得到J;(5)由，求出两导体间 电流；(6)求比值，即得出所 求电导。,计算电导的方法三：,静电比拟法：,117,例 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l，其间媒质的电导率为、介电常数为。,解：直接用恒定电场的计算方法,电导,绝缘电阻,则,设由内导体流向外导体的电流为I。,118,方程通解为,例 在一块厚度为h 的导电板上，由两个半径为r1 和 r2 的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒

45、质，如图所示。计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。,解：设在沿 方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿 方向流动，而且电流密度是随 变化的。但容易判定电位 只是变量 的函数，因此电位函数 满足一维拉普拉斯方程,代入边界条件,可以得到,119,电流密度,两电极之间的电流,故沿 方向的两电极之间的电阻为,所以,120,第五章恒定磁场分析,主要内容：(1)建立真空及磁介质内恒定磁场的基本方程以及磁介质的特性方程(2)引入矢量位，将恒定磁场的求解归结为矢量位的求解(3)确立磁场的边界条件(4)在特定条件下引入标量位求解磁场的边值问题(5)恒定磁场在工程中的应用,121,本章章节安排如

46、下 5.1 恒定磁场分析的基本变量 5.2 真空中恒定磁场的基本方程 5.3 恒定磁场的矢量磁位 5.4 物质的磁化，磁化强度 5.5 磁介质中磁场的基本方程 5.6 磁介质分界面上的边界条件 5.7 恒定磁场在工程中的应用,122,5.1恒定磁场分析的基本变量,首先，恒定磁场的源变量是恒定电流密度矢量。它是一种矢性源变量，故它所产生的磁场必定是有旋度的矢量场。,其次，恒定磁场还有两个基本的场变量。第一个场变量是磁通密度。磁通量和磁通密度（）由法拉第首先提出，并利用它们建立了电磁感应定律。法拉第提出的磁通密度就是安培定义的磁感应强度，即；第二个场变量是磁场强度，用 表示,单位为A/m。它表示磁

47、场对电流或永久磁铁具有作用的能力。,和,的大小可由下式推出：从安培力定律求得，无界真空中电流元 产生的磁场对另一个电流 的安培力为,123,若两电流元位于无界均匀磁介质材料空间内，则,调节两个电流元的方位使它们位于同一平面内又互相平行，则,由此定义磁场强度 为,124,写成一般矢量表示式,那么任一闭合的直流回路产生的磁场强度为,根据已学过的磁感应强度的公式可以知道，无界真空中两个基本的场变量间的关系为,125,5.2真空中恒定磁场的基本方程,真空中恒定磁场的基本方程有两个,安培环路方程,磁通连续性方程,1磁通连续性方程的证明,在直流回路C的磁场中任意取一闭合面S，则S上的磁通量为,126,12

48、7,所以,2安培环路方程的证明,磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁感应线是无起点和 终点的闭合曲线。,磁通是连续的，磁感应强度 对任意闭合面的积分恒为0。但对任意闭合曲线的线积分并不处处为0，磁感应线是套链在闭合载流回路上的闭合线。若取磁感应强度沿磁感应线的环路积分，则因 与 的夹角，故在每条线上，从而,安培环路定理就是反应磁感应线这一特点的。,128,安培环路定理表述如下：在真空中，恒定磁场的磁感应强度 沿任何闭合曲线的线积分值等于曲线包围的电流与真空磁导率 的乘积，即,为简单起见，我们用无限长载流直导线的场加以验证。,在真空中位于z轴上的无限长直导线，载流为I时，离导线r远处的磁感应

49、强度为,若取路径C为圆心在轴线上、半径为r的圆，亦即 矢量线圈，则,129,若取积分路径C为任意曲线，如5-1（a）所示，在圆柱坐标系中，有,若路径C没有包围电流，如图5-1（b）所示，则,130,可见安培环路定理已得到证实。在此基础上运用叠加定理，即可解决多个载流回路的情形，如图5-1（c）所示，则,即包围的总电流值为各电流的代数和。,131,由斯托克斯定理,及电流定义式,得,132,安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁 场的漩涡源。,微分形式:,积分形式:,因此，真空中磁场的基本方程为,本构关系：,当电流分布具有某些特殊对称性时，可以只用一个基本方程求磁场强度，而无需散

50、度方程。,133,例5-1 半径为a的无限长直导体通有电流I，计算导体内外的基本场变量。,解：根据基本方程,得,此回路积分等于C包围的电流，在 的圆柱内，包围的电流为,因此有,134,当ra时，积分回路包围的电流为I，,135,矢量磁位的定义,磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是唯一确定的，它加上任意一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即,由,即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。,磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。,5.3恒定磁场的矢量磁位,136,磁矢位的微分方程,在无源