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1、通信原理电子教案,广东海洋大学信息学院2012年9月,通信原理电子教案,授课班级:通信1103班、通信1104班 授课教师:广东海洋大学信息学院 梁能,2.4 高斯过程2.4.1 基本概念 1.定义 一随机过程(t),若它的任意n维概率密度呈正态分布,则称其为高斯过程。又称正态随机过程。数学表达式见式()。一维时:,2.性质由定义可分析出(1)高斯过程若广义平稳,则必狭义平稳。(2)高斯过程中的随机变量(t1)、(t2)、(t3)、之间若不相关,则它们也是统计独立的。fn(x1,x2,.,xn;t1,t2,.,tn)f1(x1,t1)f2(x2,t2).,fn(xn,tn)()(3)若干个高斯
2、过程之和仍是高斯过程。从信号角度。(4)高斯过程经线性变换后,仍是高斯过程。从系统(线性系统)角度。,则称为服从正态分布的随机变量则称为服从正态分布的随机变量,2.4.2 高斯过程中的一维分布随机变量研究1.一维概率密度函数(1)高斯随机变量 若随机变量的概率密度函数可表示成,(2)性质,1)对称于直线x=a;2)在 内单调上升,在 内单调下降,且在a点处达到极大值;,3)4)a 表示分布中心,表示集中的程度。一定时,。5)当a0,时,相应的正态分布称为标准化正态分布:,2.正态分布函数(1)一般表示式已知概率密度函数的前提下,正态概率分布函数可以表示为:,这个积分不易计算,常引入概率积分函数
3、或误差函数(可查表)来表述。,(2)用概率积分函数表示 定义概率积分函数(简称概率积分)为:,则正态分布函数可表示为:,(3)用误差函数表示 正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。1)误差函数定义,误差函数:互补误差函数:,2)误差函数的性质误差函数是递增函数,它具有如下性质:,互补误差函数是递减函数,它具有如下性质:,2.5 窄带随机过程窄带过程2.5.1 窄带随机过程的概念1.什么叫窄带随机过程?频谱:所占频带较窄,满足f fc的随机过程叫窄带随机过程。时域:用示波器观察,看到某个实现的波形幅度和相位随机缓慢变化的近似正弦。,2.表达式两种!,2.5.2 已知(t)的统计特性,求c
4、(t)、s(t)的统计特性结论1若(t):均值为0、方差为2、窄带、平稳、高斯随机过程。则:(1)c(t)、s(t)同样是平稳高斯随机过程;(2)E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值相同(都为0);(3)c2=s2=2=2方差相同,同于(t);(4)在同一时刻(即=0)上得到的c及s互相关函数为0,即c与s互不相关,或说统计独立。,2.5.3 已知(t)的统计特性,求 a(t)、(t)的统计特性 结论2若(t):均值为0、方差为2、窄带平稳高斯随机过程。则:(1)其包络a(t)的一维分布呈瑞利分布;(2)其相位(t)的一维分布呈均匀分布;(3)a(t)与(t)统计独立。,2.6 宽带随机过程
5、2.6.1 白噪声 1.定义:凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声,称为白噪声。即:双边谱密度:单边谱密度:,其中:n0为常数,W/Hz。一般默认白噪声为平稳的。,2.自相关函数据:功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。,图2-5 白噪声的功率谱密度与自相关函数,结论:对白噪声而言,只有当=0时(同一时刻)才相关,而在0的任何两个时刻上的随机变量,皆不相关。问:高斯白噪声?,2.6.2 带限白噪声1.定义 白噪声经理想带通滤波器(-f0,f0)后而形成的噪声,被称为带限白噪声,即其功率谱密度为:,2.自相关函数,N-噪声平均功率,取决于n 0 f0-P()的面积。,结论:按抽
6、样定理对带限白噪声抽样,各抽样值是互不相关的随机变量(各抽样点处的随机变量是互不相关的)。问:窄带、高斯、白噪声的含义。,2.7 正弦信号加窄带高斯噪声2.7.1 合成信号表达式正弦信号加窄带高斯噪声后的合成信号可表示为:,其中:,-正弦载波:假定A、c为常数;为随机变量,其一维pdf 均匀分布,即:f()=1/(2),02,-窄带随机过程:nc(t)-n(t)之同相分量;ns(t)-n(t)之正交分量。,代入,整理:,其中:,合成信号振幅z(t)和相位(t)的统计特性可以证明,正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具有如下统计特性:1)随机包络服从广义瑞利分布(也称莱斯(Rice)分布)-(
7、2.7-3)。2)随机相位分布与信道中的信噪比有关,不再是均匀分布了。当信噪比很小时,它接近于均匀分布。,图2-6 正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位分布,2.8 随机过程通过线性系统2.8.1 线性系统-复习 设:线性系统的冲击响应和网络函数分别为:h(t)、H(),则:H()h(t)。,周知:线性系统响应v0(t)等于输入信号vi(t)与冲击响应h(t)的卷积,即:,系统满足物理可实现条件:h(t)=0,t0;输入有界(满足狄里赫利条件)。则有:,理解:上式对于确知信号是没有问题的。当输入是随机过程(t)的一个实现i1(t)随机函数时,便有输出随机过程o1(t)。进一步:当输入是随机过程i(t)时,便有输出随机过程o(t)。且有:,任务:假设i(t)为平稳随机过程,且已知其统计特性,求0(t)的统计特性。,一个十分有用的结论:若线性系统的输入过程是高斯型的,则系统的输出过程也是高斯型的。,作业:P63习题3-9。,