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1、,级数的收敛、求和与展开,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第十二章,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,时为数项级数;,时为幂级数;,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,设un和vn都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若级数vn收
2、敛,则级数un收敛;若级数un发散,则级数vn发散.,p级数的收敛性,证,比较审敛法,例1,定理3(比较审敛法的极限形式),解,例2,解,定理(比较审敛法的极限形式),例3,收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散,定理(比值审敛法 达朗贝尔判别法),解,所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛,所以 根据比值审敛法可知所给级数发散,下页,解,收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散,定理(比值审敛法 达朗贝尔判别法),例5,提示:,所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛,下页,解,收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散,定理(比值审敛法 达朗贝尔判
3、别法),例6,定理(极限审敛法),因为,解,根据极限审敛法 知所给级数收敛,下页,例7,定理(极限审敛法),因为,解,根据极限审敛法 知所给级数收敛,首页,例8,这是一个交错级数.,解,由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和su11,首页,则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值|rn|un1.,定理(莱布尼茨定理),因为此级数满足,例12,例9,三、绝对收敛与条件收敛,绝对收敛与条件收敛,定理(绝对收敛与收敛的关系),应注意的问题,下页,解,下页,定理(绝对收敛与收敛的关系),例13,例10,结束,定理(绝对收敛与收敛的关系),解,例14,例11,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:
4、先求收敛半径 R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,题7.求下列级数的敛散区间:,下页,因此,收敛域为(1,1.,解,定理(收敛半径的求法),例12,解,因为,所以收敛半径为R,从而收敛域为(,).,下页,定理(收敛半径的求法),例13,解,因为,所以收敛半径为R0,即级数仅在x0处收敛.,下页,定理(收敛半径的求法),例14,提示:,此级数缺少奇次幂的项,前述求收敛半径的方法不能直接应用.,提示:,解,这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径.,当4|x|21即|x|时级数收敛;,当4|x|21即|x|时级数发散,下页,例15,这种缺项幂
5、级数一般用比值审敛法来求收敛半径.,当4|x|21即|x|时级数收敛;,当4|x|21即|x|时级数发散,下页,解,例16,解,所以收敛半径R2.,所以原级数的收敛域为1,3).,即2x12,或1x3,因此收敛域为2t2,首页,例17,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数 求和,提示,解,求得幂级数的收敛域为1 1),显然S(0)1 因为,提示,下页,例18,解,结束,求得幂级数的收敛域为1 1),显然S(0)1 因为,例19,练习:,解:(1),显然 x=0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,题8.求下列幂级数的和函数：,级数发散,(4),显然 x=0 时,和为 0;,根据和函数的连续性,有,x=1 时,级数也收敛.,即得,练习:,解:原式=,的和.,题9(2).求级数,四、函数的幂级数和付式级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习:,1.将函数,展开成 x 的幂级数.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解:,1.函数的幂级数展开法,例5,解,已知,把x换成x2,得,提示:,收敛半径的确定:,由-1-x21,得-1x1.,下页,例20,幂级数展开式小结,谢谢大家！,
