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1、2023/10/31,同济版高等数学课件,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十二章,*四、绝对收敛级数的性质,2023/10/31,同济版高等数学课件,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数.,单调递增,收敛,也收敛.,2023/10/31,同济版高等数学课件,都有,定理2(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1)若强级数,则弱级数,(2)若弱级数,则强级数,证:,设对一切,收敛,也收敛;,发散,也发散.,分别表示弱
2、级数和强级数的部分和,则有,是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,2023/10/31,同济版高等数学课件,(1)若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2)若弱级数,因此,这说明强级数,也发散.,也收敛.,发散,收敛,弱级数,2023/10/31,同济版高等数学课件,例1.讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解:1)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散.,发散,2023/10/31,同济版高等数学课件,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.,时,2)若,202
3、3/10/31,同济版高等数学课件,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,2023/10/31,同济版高等数学课件,证明级数,发散.,证:因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散.,例2.,2023/10/31,同济版高等数学课件,定理3.(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,证:据极限定义,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,2023/10/31,同济版高等数学课件,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散;,(3)当l=时,即,由定理2可知,若,发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知
4、,收敛,若,2023/10/31,同济版高等数学课件,是两个正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;,2)特别取,可得如下结论:,对正项级数,(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;,也发散.,注:,1)un,vn均为无穷小时,l 的值反映了它们不同阶的比较.,2023/10/31,同济版高等数学课件,的敛散性.,例3.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4.判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,2023/10/31,同济版高等数学课件,定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,证:(1),收敛
5、,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,由比较审敛法可知,2023/10/31,同济版高等数学课件,因此,所以级数发散.,时,(2)当,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,从而,2023/10/31,同济版高等数学课件,例5.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,2023/10/31,同济版高等数学课件,对任意给定的正数,*定理5.根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.,级数,且,2023/10/31,同济版高等数学课件,时,级数可能收敛也可
6、能发散.,例如,p 级数,说明:,但,级数收敛;,级数发散.,2023/10/31,同济版高等数学课件,例6.证明级数,收敛于S,似代替和 S 时所产生的误差.,解:,由定理5可知该级数收敛.,令,则所求误差为,并估计以部分和 Sn 近,2023/10/31,同济版高等数学课件,二、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6.(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,2023/10/31,同济版高等数学课件,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S,且,故,2023/10/31,同济版高等数学课件,收敛,收敛,用Leib
7、nitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,2023/10/31,同济版高等数学课件,三、绝对收敛与条件收敛,定义:对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,则称原级,2023/10/31,同济版高等数学课件,定理7.绝对收敛的级数一定收敛.,证:设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,2023/10/31,同济版高等数学课件,例7.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,2023
8、/10/31,同济版高等数学课件,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,小结,2023/10/31,同济版高等数学课件,其和分别为,*四、绝对收敛级数的性质,*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,(P263 定理9),(证明见 P263P266),*定理9.(绝对收敛级数的乘法),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,(P265 定理10),说明:绝对收敛级数有类似有限项和的性质,但条件收敛级数不具有这两条性质.,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,2023/10/31,同济版高等数学课件,内容小结,2.判别正项级数敛散性的方
9、法与步骤,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,2023/10/31,同济版高等数学课件,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,2023/10/31,同济版高等数学课件,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,2023/10/31,同济版高等数学课件,作业 P266 1(1),(3),(5);2(2),(3),(4);*3(1),(2);4(1),(3),(5),(6);5(2),(3),(5),第三节,2023/10/31,同济版高等数学课件,备用题,1.判别级数的敛散性:,解:(1),发散,故原级数发散.,不是 p级数,(2),发散,故原级数发散.,2023/10/31,同济版高等数学课件,2.,则级数,(A)发散;(B)绝对收敛;,(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.,分析:,(B)错;,又,C,
