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1、1,第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理,2,复习,2.归纳推理的一般步骤:,(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;,(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).,1.什么是归纳推理?,部分整体,特殊 一般,3,从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.,他的思路是这样的：,茅草是齿形的；,茅草能割破手.,我需要一种能割断木头的工具；,它也可以是齿形的.,这个推理过程是归纳推理吗？,4,试根据等式的性质猜想不等式的性质。,等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=
2、b ac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。,猜想不等式的性质：,(1)aba+cb+c;,(2)ab acbc;,(3)aba2b2;等等。,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,5,相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。,地球上有生命,火星上可能有生命,火星上是否有生命？,相似点:,6,由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）,类比推理的定义:,简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理,发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比推理是自然奧妙的参与者和自己最好的
3、老师,数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.”,7,类比推理的特点;,1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.,2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.,3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.,类比推理的一般步骤:,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,类比推理的一般步骤：,找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；检验猜想。,8,例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比.,圆的定义：平面
4、内到一个定点的距离等于定长的点的集合.,球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.,圆弦直径周长面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,9,圆的概念和性质,球的概念和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长,以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦,球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大,以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(
5、z-z0)2=r2,利用圆的性质类比得出球的性质,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,10,练习1 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.,若a,bR,则abR,ab=ba(ab)c=a(bc),乘法的逆运算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/a,a1=a,11,通过例1，练习1你能得到类比推理的一般模式吗？,类比推理的一般模式:,所以B类事物可能具有性质d.,A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与a,b,c相似或相同）,12,例2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想,13,例2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想,14,15,图(1),图(2),16,例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论.,17,合情推理,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。,合情推理的应用,数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。,证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向,18,
