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1、第六章 定积分与二重积分 曲线积分与曲面积分,第一节 定积分的概念与性质,一、两个实例,1.曲边梯形的面积,曲边梯形：由连续曲线y=f(x)和三条直线x=a,x=b和y=0（即x轴）所围成的图形。,y=f(x),O,x,y,a,b,底：a,b；高：y=f(x)（变化的）,曲边：y=f(x)（曲线）,由封闭曲线所围成的图形的面积往往可化为曲边梯形面积之差（如右图）。,O,M1(a,0),N1(b,0),x,y,A,C,B,D,由此可见，求任意封闭曲线围成的图形的面积，必须先解决曲边梯形的面积问题。,下面计算曲边梯形的面积A：,（1）分割（化整为零）：将区间a,b分成n个小区间,a=x0 x1x2
2、 xi-1xi xn-1xn=b,.,.,x0,x1,x1,x2,xi-1,xi,xn-1,xn,.,.,a=x0,x1,x2,xi-1,xi,xn-1,xn=b,x,y,y=f(x),O,第i个小区间的长度（即xi-1,xi的长度）记为,第i个小曲边梯形的面积记为,（2）近似（不变代变）：,（即以 为底、为高的矩形面积）,（3）求和（积零为整）：,（4）取极限（再取极限）：,(为最大小区间的长度),2.变速直线运动的路程,设一物体沿直线运动，已知速度v=v(t)是时间区间a,b上的连续函数，且。求物体在这段时间内所走过的路程s,（1）分割：将区间a,b分成n个小区间,a=t0t1 ti-1t
3、i tn-1tn=b,.,.,t0,t1,t1,t2,ti-1,ti,tn-1,tn,.,.,（第i个小区间的长度）,（第i段时间上的路程）,（2）近似：,（为区间ti-1,ti上任意一点）,（3）求和：,（4）取极限：,由上可知，曲边梯形的面积与变速直线运动的路程均可归结为和式的极限。,二、定积分的定义,定义 设函数f(x)在区间a,b上有界，任取分点：,a=x0 x1x2 xi-1xi xn-1xn=b,.,.,把区间a,b分成n个小区间：,x0,x1,x1,x2,xi-1,xi,xn-1,xn，,.,.,其长度为=xi-xi-1，,在每个小区间xi-1,xi上,任取一点,如果不论对区间a
4、,b采取何种分法及 如何选,取，当最大的小区间的长度 时，和式的极限,存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积，而称此极限值为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作,在 中，,称 为积分号，称f(x)为被积函数，称f(x)dx为被积表达式，称x为积分变量，a与b分别称为积分下限与上限，称a,b为积分区间。,简单地讲，定积分就是和式的极限。,回顾：,（1）曲边梯形的面积：,（2）变速直线运动的路程：,注意：,（1）当 存在时，仅与a,b及f(x)有关，而与积分变量无关，即,（2）当定积分存在时，与a,b的分法及 的取法无关,（3）函数f(x)在区间a,b上可积的充分条件常用的有以下两种：,（i
5、）函数f(x)在区间a,b上连续,（ii）函数f(x)在区间a,b上只有有限多个间断点，且间断点全为第一类间断点,（4）补充规定：,三、定积分的几何意义与物理意义,1.定积分的几何意义,（曲边梯形面积的代数和）,可分三种情形讨论：在区间a,b上,（1）,A,y=f(x),y,x,O,a,b,（2）,O,y,x,a,b,y=f(x),A,（3）f(x)可正可负,A1,A2,A3,x,y,O,y=f(x),a,b,2.定积分的物理意义,定积分的物理意义多种多样，如，变速直线运动的路程等。,例1 由定积分的几何意义，指出下列积分的值：,（1）,（2）,1,2,1,O,x,y,y,x,O,1,-1,例2 利用定积分定义及公式,计算,布置作业：,P181:1(双).2.3.4.9.,
