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1、第十一章 广义积分与含参变量的积分,复习,1 广义积分,1.无穷积分(1)定义a：设函数f(x)在a,+)上有定义，且对任意Aa,f(x)在a,A上可积。若 存在，则称无穷积分 收敛，并定义否则称无穷积分发散。,1 广义积分,1.无穷积分(1)定义b:设函数f(x)在(-,b上有定义，且对任意Ab,f(x)在A,b上可积。若 存在，则称无穷积分 收敛，并定义否则称无穷积分发散。,1 广义积分,1.无穷积分(1)定义c:设函数f(x)在(-,+)上有定义，且在任意区间a,b上可积。若 与 同时存在，则称无穷积分 收敛，并定义否则称无穷积分发散。,我们得出结论:当p 1时,发散,当p1时积分有值,
2、1.无穷积分,(2)无穷积分的性质若两个无穷积分 与 都收敛，则无穷积分 也收敛，且其中k1,k2为常数。,1.无穷积分,(3)无穷积分收敛的充要条件柯西收敛原理:无穷积分 收敛的充要条件是:任给0,存在正数A0a,只要AA0,AA0,便有,1.无穷积分,(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义若 收敛，则称 绝对收敛；若 收敛，但 发散，则称 条件收敛。命题:若 收敛,则 也收敛。,1.无穷积分,(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义命题:若 收敛,则 也收敛。,(5)无穷积分收敛的判别法,无穷积分收敛的充要条件引理：若f(x)是a,+)上的非负可积函数，则 收敛的充要条件是：对一切Aa，积分
3、 有界。,(5)无穷积分收敛的判别法,定理1（比较判别法）:设f(x)与g(x)在a,+)上有定义，且当xXa时有0f(x)g(x).又设f(x)与g(x)在任一区间a,b上可积，则(1)由 收敛可推出 也收敛；(2)由 发散可推出 也发散。,(5)无穷积分收敛的判别法,推论（比较判别法的极限形式）:设当 xa 时，f(x)0，g(x)0，它们在任意区间a,b上都可积，且则有以下结论：(1)当0k+时,若 收敛则 收敛；(2)当0k+时,若 发散则 发散。当0k+时,两无穷级数同时收敛或同时发散。,(5)无穷积分收敛的判别法,定理2(狄利克莱判别法):设f(x)与g(x)在a,+)上有定义，并
4、考虑无穷积分设对一切Aa，积分 有界，即存在常数M0使又设函数g(x)在a,+)上单调且趋于零(当x+时)，则上述无穷积分收敛。,(5)无穷积分收敛的判别法,定理3(阿贝尔判别法):设f(x)与g(x)在a,+)上有定义，并考虑无穷积分若无穷积分 收敛，且函数g(x)在 a,+)上单调有界，则无穷积分 收敛。,2.瑕积分,(1)定义a：设函数f(x)在(a,b上有定义，且f(x)在任意区间a+,b上可积,但xa+0时f(x)无界，我们称a为瑕点。若极限 存在，则称瑕积分收敛，并定义否则称瑕积分发散。,2.瑕积分,(1)定义b：设函数f(x)在a,b)上有定义，且f(x)在任意区间a,b-上可积
5、,但xb-0时f(x)无界，我们称b为瑕点。若极限 存在，则称瑕积分 收敛，并定义否则称瑕积分发散。,2.瑕积分,(1)定义c：设函数f(x)在(a,b)上有定义，且f(x)在任意区间a+,b-上可积,a与b均为f(x)的瑕点。若极限 与 都存在，则称瑕积分 收敛，并定义若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称瑕积分 发散。,2.瑕积分,(2)瑕积分收敛的充要条件柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分 收敛的充要条件是:任给0,存在0,只要0 1,0 2,便有,2.瑕积分,(3)瑕积分的绝对收敛与条件收敛若瑕积分 收敛，则称瑕积分 绝对收敛；若瑕积分 收敛，但瑕积分 发散，则称瑕积分 条件收敛。命
6、题:若瑕积分 收敛,则 也收敛。,2.瑕积分收敛的判别法,定理4（比较判别法）:设f(x)与g(x)在(a,b上有定义，且a是它们的瑕点。设当x(a,c)属于(a,b)时有0f(x)g(x)，则(1)由 收敛可推出 也收敛；(2)由 发散可推出 也发散。,2.瑕积分收敛的判别法,推论（比较判别法的极限形式）:若f(x)与g(x)在(a,b有定义，且f(x)0，g(x)0，并有则(1)当0k+时,若瑕积分 收敛则 收敛；(2)当0k+时,若瑕积分 发散则 发散。当0k+时,两瑕积分同时收敛或同时发散。,2.瑕积分收敛的判别法,定理(狄利克莱判别法):设积分有唯一的瑕点a,是的有界函数，g(x)单
7、调且当xa时趋于零，则积分收敛。,2.瑕积分收敛的判别法,定理(阿贝尔判别法):设积分 有唯一的瑕点a,收敛，g(x)单调有界，则积分收敛。,2 含参变量的正常积分,含参变量的积分设u=f(x,y)是a,b c,d上的一个连续函数，对任意的y c,d,y到积分值的对应形成了c,d上的一个函数。,2 含参变量的正常积分,1.连续性定理1：设二元函数f(x,y)在闭矩形域a,b c,d上连续，则参变量积分 在区间c,d上连续。即对任意的y0c,d,有,2 含参变量的正常积分,2.可积性定理2：设二元函数f(x,y)在闭矩形域a,b c,d上连续，则函数 在区间c,d上可积。且即,2 含参变量的正常
8、积分,3.可微性定理3：设二元函数 f(x,y)与 fy(x,y)都在闭矩形域a,b c,d上连续，则函数 在区间c,d上可微。且即,2 含参变量的正常积分,4.积分上下限是参变量的函数的情况考虑参变量积分若f(x,y)在 a,b c,d上连续,u(y),v(y)在c,d上连续,且值域包含于a,b之内,则g(y)在c,d上连续并可积。若f(x,y)及fy(x,y)在 a,b c,d上均连续,u(y),v(y)在c,d上可导，且值域包含于a,b之内,则g(y)在c,d上可导,并有,3 含参变量的广义积分,1.含参变量的无穷积分(1)无穷积分点点收敛设二元函数f(x,y)在ax+,cy d上有定义
9、。若对任意取定的一个y,无穷积分都收敛，则称无穷积分在c,d上点点收敛。,3 含参变量的广义积分,(2)含参变量的无穷积分在y=y0收敛，即指 存在，记为-N语言：对任意0,存在N(依赖和 y0),当AN时，,3 含参变量的广义积分,(3)含参变量无穷积分一致收敛定义：设无穷积分 对于区间Y中的一切y都收敛(Y 可以是开区间，闭区间，半开半闭区间或无穷区间)。若对任给0，存在一个与y无关的实数Na，使当AN时，对一切yY，都有则称含参变量的无穷积分 在Y上一致收敛。,3 含参变量的广义积分,(4)无穷积分一致收敛的几何意义(5)无穷积分不一致收敛的充分条件命题：设含参变量的无穷积分 在Y上点点
10、收敛。若存在常数l0,不论N多么大,总存在AN及yAY，使则无穷积分在Y上不一致收敛。,3 含参变量的广义积分,(5)无穷积分一致收敛的充要条件柯西收敛准则:无穷积分 在区间Y上一致收敛的充要条件是:对任给0,存在与y无关的实数N，使当AN,AN时，对一切yY,都有,(6)无穷积分一致收敛的M判别法,定理1（比较判别法）:设当 yY时，对任意Aa,函数f(x,y)关于x在区间a,A上可积。又当xa时，对一切yY，有且无穷积分 收敛，则含参变量积分在Y上一致收敛。,(7)无穷积分一致收敛的狄利克莱判别法,定理2(狄利克莱判别法)若函数f(x,y)与g(x,y)满足：(1)当x充分大后g(x,y)
11、是x的单调函数(yY),且当x+时，对 yY，g(x,y)一致趋于0;(2)对任意Aa，积分 存在且对yY 一致有界，即存在常数M，使对任意Aa及一切 yY，都有则含参变量无穷积分 在Y上一致收敛。,(8)无穷积分一致收敛的阿贝尔判别法,定理3(阿贝尔判别法):若函数f(x,y)与g(x,y)满足：(1)当x充分大后g(x,y)是x的单调函数(yY),且对yY 一致有界，即存在常数M，使当x a,+)，yY时，有(2)在Y上一致收敛。则含参变量无穷积分 在Y上一致收敛。,(9)含参变量无穷积分的连续性和可积性,定理4：设函数f(x,y)在区域a,+)c,d上连续，且积分 在c,d上一致收敛，则
12、(1)g(y)在c,d上连续；(2)g(y)在c,d上可积，且,(10)含参变量无穷积分的可微性,定理5：设函数f(x,y)及 在区域a,+)c,d上连续，且积分 在c,d上点点收敛。又设积分 在c,d上一致收敛，则含参变量积分g(y)在c,d上可导，且,(11)两个累次无穷积分可交换积分次序的充分条件,定理6：设函数f(x,y)在区域a,+)c,+)上连续。又设两个参变量积分 分别关于y及x在任意有穷区间c,d及a,b上一致收敛，并且两积分 中至少有一个存在，则两积分 都存在且相等，即 亦即可交换积分次序。,定理6：设函数f(x,y)在区域a,+)c,+)上二元连续。又 分别关于y及x在任意
13、有穷区间c+,d及a+,b上一致收敛，且中至少有一个存在，则,(11)两个累次无穷瑕积分可交换积分次序的充分条件,2.含参变量的瑕积分,(1)定义：设函数f(x,y)在(a,b Y(区间)上有定义，且在a+,b Y上连续,这里是任意充分小的数。此外对任意固定的yY，f(x,y)作为x的函数在x=a点附近无界，即a为瑕点。则称 是一个以a为瑕点的含参变量的瑕积分。,2.含参变量的瑕积分,(2)一致收敛的定义定义：设含参变量的瑕积分在Y上点点收敛。若对任给0，存在与y无关的正数0，使得当00时，对一切yY，都有 则称该含参变量的瑕积分在Y上一致收敛。,2.含参变量的瑕积分,(3)一致收敛的充要条件
14、柯西收敛原理:以a为瑕点的瑕积分 一致收敛的充要条件是:任给0,存在与y无关的0,只要0 1,0 2,对一切yY，都有,(4)含参变量的瑕积分一致收敛的M判别法,定理7:设函数f(x,y)在(a,b Y(区间)上连续，且对于任意的yY，f(x,y)以a为瑕点。又设f(x,y)在(a,b Y上满足下列条件：其中g(x)是定义在(a,b上的连续函数,且使得瑕积分收敛，则瑕积分 在Y上一致收敛。,2.含参变量的瑕积分,(5)含参变量的瑕积分收敛的狄利克莱判别法(6)含参变量的瑕积分收敛的阿贝尔判别法(7)含参变量的瑕积分的连续性和可积性定理8:设函数f(x,y)在(a,b c,d连续，且含参变量的瑕
15、积分 在 c,d上一致连续，则(1)g(y)在区间c,d上连续；(2)g(y)在c,d上可积，且,2.含参变量的瑕积分,(8)含参变量的瑕积分的可导性定理9：设函数 f(x,y)与 fy(x,y)都在区域(a,b c,d上连续，瑕积分 在区间c,d上点点收敛，而瑕积分 在c,d上一致收敛，则含参变量的瑕积分g(y)在c,d上可导，且,3.函数与函数,(1)函数是一个无穷瑕积分(当0时，积分收敛。,3.函数与函数,(2)函数的性质,3.函数与函数,(3)()在(0,+)连续；,3.函数与函数,(4)函数当p1,q1是正常积分；当p0且q0时，积分收敛。,3.函数与函数,(6)函数在(0,+)(0,+)上连续。,
