控制系统的数学描述方法.ppt

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1、第二章 控制系统的数学描述方法,2,本章主要内容,引言2-1 控制系统的微分方程2-2 非线性微分方程的线性化2-3 拉普拉斯变换及其应用2-4 传递函数2-5 动态结构图2-6 一般反馈控制系统小结,3,引言,数学模型 描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系 统或元件的数学模型 建模 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们 的数学模型称建模,4,一、建立控制系统数学模型的方法,解析法对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。实验法人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。,5,二、常用数学模型,设定常系统,输入/输出（I/O）模型：用系统的输入、输出信号或其变换式所表示的数学

2、模型。当I/O为：时域信号、微分方程复数域信号、传递函数频域信号、频域特性,6,控制系统的运动规律，一般是以时间t为自变量，采用线性常系数微分方程来描述的：,2-1 控制系统的微分方程,线性定常系统,满足上述方程的系统称为线性定常系统。,7,线性定常系统满足以下性质：,线性可加性 参数定常性,x(t)=ax1(t)+bx2(t)y(t)=ay1(t)+by2(t),系统的参数或者说元件的参数均为常数。,8,2-1-1 电学系统,电路分析中的基本元件：电阻R、电容C、电感L，它们的V-I关系遵循广义欧姆定律:电阻：电容：电感：,遵循元件约束和网络约束。,电网络的基本约束为基尔霍夫定律。,9,2-

3、1-2 力学系统,古典力学系统的运动定律是牛顿定律：平移运动：,2-1-3 复合系统 几种不同类型的物理系统，在符合传输关系 的条件下，以不同方式连接构成的系统。,10,建立系统微分方程的一般方法,1、确定系统的输入 和输出；,2、将系统划分为若干环节，从输入端开 始，按信号传递的顺序，依据各变量 所遵循的物理学定律，列写各环节的 输出/输入关系；,3、消去中间变量，写出仅包含输入、输 出变量的微分方程式。,11,2-1-1 电学系统例2-1 如图2-2所示，写出ui为输入，uo为输出的微分方程。,解：由回路电压定律,因为电容电流,有,令 T=RC,有,即,图2-2,12,例2-2 如图2-3

4、所示，写出ui为输入，uo为输出的微分方程。,解：对L1有,对L2有,图2-3,13,设时间常数,14,解：由加速度定律,弹性阻力,粘滞阻力,2-1-2 力学系统例2-3 如图2-4所示，写出Fi为输入，x为输出的微分方程。,图2-4,15,2-2 非线性微分方程的线性化,非线性系统的线性化 对于数学上满足基本条件(连续、可导)的非线性系统，确定其在工作点邻域的线性关系，称为非线性系统的线性化。,16,非线性系统线性化的步骤：首先确定系统输入-输出之间的函数。在工作点 邻域将 展开为泰勒级数,p16,17,增量 较小时略去其高次幂项，则有,令则线性化方程为 y=kx 式中 是比例系数，是函数在

5、x0点切线的斜率。,18,2-3 拉普拉斯变换及其应用,2-3-1 拉氏变换定义 已知时域函数 f(t)，如果满足相应的收敛条件则 f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作,P19,19,2-3-2 常用信号的拉氏变换,20,2-3-3 拉氏变换的基本定理,卷积定理,终值定理,初值定理,积分定理,微分定理,衰减定理,延迟定理,线性定理,21,2-3-4 拉氏反变换,在控制理论中，常遇到的象函数F(s)形式如下,式中，s1,s2,.sn称为A(s)=0的根，或F(s)的极点，它们可以是实数或共轭复数。,将F(s)分母A(s)进行因式分解，可写成,22,应用部分分式法进行拉氏反变换：,分母A(s)全部

6、为单根,其中 为复变函数F(s)对于极点s=si的留数。则拉氏反变换为,F(s)可以分解为：,23,例2-10 求 的拉氏反变换。解,因此,24,分母A(s)有重根,F(s)有重极点，假若F(s)有m重极点s2，简单极点s1，那么，,其中,25,因为,所以，拉氏反变换为,26,例2-11 求 的拉氏反变换。解,系数C32,C31对应二重根,27,于是，F(s)分解为,拉氏反变换为：,28,2-3-5 拉氏变换法求解微分方程,用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可供查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。,29,拉氏变

7、换法求解微分方程的步骤：,1、方程两边作拉氏变换；2、将给定的初始条件与输入信号代入方程；2、写出输出量的拉氏变换；3、作拉氏反变换求出系统输出的时间解。,30,例2-13 RC滤波网络如图，输入电压ui(t)=5V，电容的初始电压uc(0)分别为0V和1V，求uc(t)。解 RC滤波网络的微分方程为：,将R，C，代入,方程两边拉氏变换,31,(1),(2),32,例2-14 已知微分方程为输入信号，初始条件为求系统的输出。解 方程两边拉氏变换,反变换,代入初始值,33,2-4-1 传递函数的定义 线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。,p

8、32,2-4 传递函数,34,式中y(t)为输出变量，u(t)为输入变量；ai和bj 是与系统结构和参数有关的常系数。设y(t)和u(t)及其各阶系数在t=0时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令Y(s)=Ly(t)，U(s)Lu(t)，可得s的代 数方程为：,设描述线性定常系统的微分方程为,p42,35,于是，由定义得系统传递函数为：,36,2-4-2 传递函数的性质,1、传递函数只适用于线性定常系统。,2、传递函数是在零初始条件之下定义的。,3、传递函数可以是有量纲的。,4、传递函数表示的关系：传递函数只表示了系统 的端口关系，不明显表示系统内部部件的信息。,同一个

9、物理系统，由于描述不同的端口关 系，其传递函数可能不同。,不同的物理系统，其传递函数可能相同。,37,5、传递函数是描述线性定常系统的参数模型。物理可实现系统：,1,系统的零点或极点或为实数或为共轭复数。,6、传递函数的信息关系。,38,2-4-3 控制系统的传递函数,1、复数阻抗,39,例2-18 RCL网络如图，用复数阻抗法求该网络的传递函数。,代入各复数阻抗得,解：由复数阻抗法可以写出分压公式为：,40,2、典型环节,任何一个复杂的系统，总是由若干典型环节组合而成。熟悉这些环节的传递函数，对于了解与研究系统会带来很大的方便。典型环节有比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延时

10、环节等。下面分别介绍这些环节的传递函数及其推导。,教材36页,41,（1）比例环节,具有比例关系的元件称为比例环节。,运算关系为：,传递函数：,K为环节的增益或放大系数。,方框图为：,42,（2）积分环节,凡具有积分运算关系的环节称为积分环节。,方框图为：,运算关系为：,传递函数为：,式中T为积分环节的时间常数。,43,特点：输出量为输入量对时间的累积，输出幅值呈线性增长，如图所示积分环节输入输出关系。对阶跃输入，输出要在t=T时才能等于输入，故有滞后作用。,例：,44,（3）微分环节,凡具有微分运算关系的环节称为微分环节。,式中，为微分环节的时间常数。,方框图为：,运算关系为：,传递函数为：

11、,45,（4）一阶惯性环节,运算关系为：,传递函数为：,式中，T为惯性环节时间常数。,惯性环节一般包含一个储能元件和一个耗能元件。对于突变形式的输入来说，输出不能立即复现，输出总落后于输入。,2,46,例：求如图所示低通滤波器的传递函数。ui(t)为输入电压，u0(t)为输出电压，R为电阻，C为电容。解：式中T=RC为惯性环节的时间常数。本系统之所以成为惯性环节，是由于含有容性储能元件C和阻性耗能元件R。,47,（5）二阶振荡环节,运算关系为：,传递函数为：,T为振荡环节的时间常数，为阻尼比。,48,例：如图所示为电感L、电容C及电阻R的串、并联电路，ui为输入电压，u0为输出电压。求其传递函

12、数。令，有,49,（6）延迟环节,式中，为延迟时间。,运算关系为：,传递函数为：,50,2-5 动态结构图,结构图是一种网络拓扑约束下有向线图。它清楚地表明了系统的组成和信号的传递方向，并且清楚地表示出系统信号传递过程中的数学关系。所以结构图也也是一种数学模型，而且是一种将控制系统图形化了的数学模型。,51,（2）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的拉氏函数。,结构图元素,（1）函数方框：表示输入到输出单向传输间的传递函数关系。,52,（3）相加点(综合点或比较点)：两个或两个以上的输入信号进行加减运算。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。,注意：进行

13、相加减的量，必须具有相同的量刚。,53,（4）分支点(引出点)：表示同一信号向不同方向的传递。,注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。,54,2-5-1 结构图的建立,例2-25,55,2-5-2 结构图化简,常用的结构图变换有两种方法：一是环节的（三种）合并，二是信号相加点和分支点的（两个移动。,对于错综复杂的结构图，为便于求系统的总的传递函数，就得利用一些基本规则对系统的结构图进行变换。,结构图变换必须遵守一个原则：等效，即变换前、后有关部分的输入量、输出量之间的关系保持不变。,56,（1）串联连接,结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。,57,（2）并联连接,结论：并

14、联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。,58,（3）反馈连接,结论：反馈环节的等效传递函数等于该环节的闭环传递函数。,59,60,（4）相加点和分支点的移动 有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。,61,相加点前移,62,分支点前移,63,例2-26,64,65,66,其中T1=R1C1,T2=R2C2，T3=R1C2。,67,总结,方块图的简化：一个原则等效原则 二个转移相加点和分支点 三种合并串联、并联、反馈,68,2-6 一般反馈控制系统,2-6-1 一般系统,C(s)系统的输出信号,R(s)系统的输入信号,

15、G(s)称为前向通道传递函数，即,H(s)称为反馈通道传递函数，即,69,1单位反馈控制系统,70,反馈信号B(s)与偏差E(s)之比定义为系统的开环传递函数，即,2、开环传递函数,请记住,71,3、闭环传递函数,系统输出C(s)与系统输入R(s)之比，定义为系统的闭环传递函数Gclose(s)，即,请记住,72,4、系统的输出 C(s)=Gclose(s)R(s)5、时域误差与变换域误差 时域误差：e(t)=r(t)-c(t);变换域误差：E(s)=R(s)-C(s),73,系统误差E(s)与系统输入R(s)之比，定义为系统的误差传递函数GE(s)，即,6、误差传递函数GE(s),74,2-

16、6-2 一般控制作用,1控制系统的一般控制方式,75,2自动控制中的基本控制作用：（1）比例控制P控制器,方框图：,运算关系：,传递函数：,单位阶跃响应：,76,（2）积分控制I控制器,传递函数：,方框图：,运算关系：,单位阶跃响应：,77,（3）比例积分控制PI控制器,方框图：,传递函数：,单位阶跃响应：,78,（4）微分控制D控制器,方框图：,运算关系：,传递函数：,单位阶跃响应：,79,（5）比例微分控制PD控制器,方框图：,传递函数：,单位阶跃响应：,80,（6）比例积分微分控制PID控制器,方框图：,传递函数：,单位阶跃响应：,81,小结,掌握线性定常系统系统的微分方程描述掌握拉氏变

17、换的基本定理、拉氏反变换掌握典型环节传递函数掌握结构图的化简和基本传递函数,82,解析法建立系统数学模型的步骤：,1、建立物理模型。2、列写原始方程。利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律等）3、选定系统的输入量、输出量，消去中间变量，建立适当的输入输出模型。,83,实验法基于系统辨识的建模方法,已知知识和辨识目的实验设计-选择实验条件模型阶次-适合于应用的适当的阶次参数估计-最小二乘法模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近,84,物理模型,任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化

18、后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。,85,牛顿定律,牛顿第一定律 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变这种状态为止。牛顿第二定律 运动的变化和作用力成正比并且发生在力的方向上。牛顿第三定律 作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。,86,基尔霍夫电流、电压定律,基尔霍夫电流定律(KCL)对于电路中的任何一个节点而言，在任一瞬时，流过此节点的电流代数和恒等于零。基尔霍夫电压定律(KVL)在电路的任何一个回路中，任一瞬时，沿着任意选定的回路参考方向计算，各支路电压的代数和恒等于零。,87,最小二乘法法,最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。,88,求如图所示RC网络的系统传递函数,方法二：1、同方法一第1步；2、对每个物理方程进行拉 氏变换；3、绘制系统结构图；4、结构图化简得到系统传 递函数。,方法一：,应用复数阻抗列写代数方程；,1、根据物理定律列写物理 方程；,2、消去中间变量得到微分 方程；,3、对微分方程两端进行拉 氏变换；,4、得到传递函数,