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1、7.2 节 定解条件,什么是边界？由连接研究对象和环境的所有点组成的物理区域对于一维系统，它是两个端点对于二维系统，它是闭合曲线对于三维系统，它是封闭曲面要确定一个由数理方程描述的物理问题的解，必须给定所有边界上的信息：确切说明边界上的物理状况,边界条件,常见的线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。第二类边界条件，规定了所研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数值。第三类边界条件，规定了所研究物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。,边界条件,第一类,第二类,第三类,课堂作业（5 分钟）,弦的横振动问题，一端固定，另一端与一竖直弹簧相连，弹
2、簧的另一端固定，求这个定解问题的边界条件。板书画图。笔记 P66 页。,具体的例子（第一类边界条件）,弦的两端固定而振动，边界条件为,具体的例子（第一类边界条件）,热传导问题，杆的两端恒温，边界条件为,具体的例子（第二类边界条件）,具体的例子（第二类边界条件）,板书推导笔记 P1 P2 页,具体的例子（第二类边界条件）,纵振动杆一端受沿外法向方向外力，根据胡克定律，边界条件为,具体的例子（第二类边界条件）,一端有已知热流流入的热传导问题，根据热传导定律，边界条件为,板书推导,具体的例子（第三类边界条件）,具体的例子（第三类边界条件）,板书推导笔记 P2 页,具体的例子（第三类边界条件）,杆的一
3、端通过弹簧与固定点连接，经过受力分析，边界条件为,一个完整的定解问题的边界条件可以是三类边界条件的组合，例如：,一端固定另一端受力的杆的纵振动问题的完整边界条件为（第一类和第二类边界条件的组合）,一端恒温，另一端有已知热流的热传导问题的完整边界条件为（第一类和第二类边界条件的组合）,还有其他类型的边界条件边界条件只要确切说明边界上的物理状况就行。具体问题具体分析：把物理定律应用到边界上，就能得到需要的边界条件。,没有边界条件的问题,拿弦振动问题为例,如果弦很长,着重研究靠近一端的那段弦。在不太长的时间里,另一端的影响还没来得及传到，不妨认为另一端并不存在，或者说另一端在无限远，当然就无需提出另
4、一端的边界条件。这样，有限长的真实的弦抽象成半无界的弦。如果着重研究不靠近两端的那段弦，不妨认为两端都不存在，或者说两端都在无限远，当然就无需提出边界条件了。这样，有限长的真实的弦抽象成无界的弦。,看书,衔接条件,针对研究区域里的跃变点，泛定方程在跃变点失去意义,板书推导笔记 P 23 页,衔接条件,针对研究区域里的跃变点，泛定方程在跃变点失去意义,板书推导,数学物理方程的分类偏微分方程的分类,观看动画,偏微分方程：关于具有多个独立变量的未知函数及其偏导数的方程。不同物理现象可以由相同的偏微分方程描述，因而具有相同的动力学规律。（举例说明）,线性二阶偏微分方程,线性,二次,指数,线性二阶偏微分
5、方程,满足如下特征的函数称为线性函数：1.叠加性,板书推导反例,线性二阶偏微分方程,满足如下特征的函数称为线性函数：2.常数因子不变,板书推导反例,线性二阶偏微分方程,其中,aij,bi,c,f 只是x1,x2,xn 的函数,就叫做线性的方程.,二阶偏微分方程如果可以表示为,则方程称为齐次的,否则叫非齐次的.,板书验证线性 解释P3页 笔记 P68页,课堂作业（5 分钟）,1.如下方程是否为线性偏微分方程？给出说明。,如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件相应的叠加正好是原来的泛定方程和定解条件就行。这叫做叠加原理
6、。,叠加原理,适当解释,线性非齐次常微分方程的通解等于非齐次方程的特解+齐次方程的通解。,双曲型方程两个自变数方程的分类,一维波动方程：弦的横振动方程,杆的纵振动方程,电报方程等都是标准形式的双曲型方程。,抛物型方程两个自变数方程的分类,一维输运方程：扩散方程、热传导方程都是标准形式的抛物型方程,椭圆型方程两个自变数方程的分类,二维拉普拉斯方程：静电场方程、稳定温度分布方程都是标准形式的椭圆型方程,达朗贝尔公式 定解问题,大家已经熟悉常微分方程的常规解法:先不考虑任何附加条件,从方程本身求出通解,通解中含有任意常数(积分常数),然后利用附加条件确定这些常数.偏微分方程能否仿照这种办法求解呢?,
7、课堂作业（5 分钟）,在无界空间内求如下定解问题的解：,注意方程是线性的笔记 P 68 页,达朗贝尔公式,运用达朗贝尔公式，给出无界或半无界条件下波动方程解的物理图象；数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。,达朗贝尔公式,数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。,板书推导 笔记P4页,作变量代换,变量代换的思想是数学和物理学中重要的解决问题的思路。,达朗贝尔公式,无界振动方程的通解,达朗贝尔公式,不同于常微分方程的情况,式中出现任意函数而不是任意常数.,振动方程的通解,达朗贝尔公式,这个偏微分方程描写以速度 a 向两方传播的行波。,板书解释 笔记P4 页,由初始条件确定待定函数,我们假定所研究的
8、弦、杆、传输线是“无限长”的，这就不存在边界条件。设初始条件是,该定解问题的解为,达朗贝尔公式,板书推导 笔记 P5 页,没有边界条件的问题,拿弦振动问题为例,如果弦很长,着重研究靠近一端的那段弦。在不太长的时间里,另一端的影响还没来得及传到，不妨认为另一端并不存在，或者说另一端在无限远，当然就无需提出另一端的边界条件。这样，有限长的真实的弦抽象成半无界的弦。如果着重研究不靠近两端的那段弦，不妨认为两端都不存在，或者说两端都在无限远，当然就无需提出边界条件了。这样，有限长的真实的弦抽象成无界的弦。,看书,（P172）例一：定解问题为,初始速度为零,初始位移,（P172）例一：波已“通过”的地区
9、，振动消失而弦静止在原平衡位置。,观看动画,（P173）例二：定解问题为,初始位移为零,初始速度,更正书上错误并推导 笔记 P5 页,（P173）例二：波已“通过”的地区，虽然振动也消失，但偏离了原平衡位置。,观看动画,端点的反射,定解问题：,端点的反射,奇延拓：,板书解释偶延拓和奇延拓的物理意义 笔记 P5,端点的反射,运用达朗贝尔公式：,板书推导 笔记 P6页,端点的反射,运用达朗贝尔公式：,端点的反射,观看动画,端点的反射,板书推导半无限长杆的自由振动，杆的端点自由。笔记 P6页,定解问题是一个整体,从偏微分方程解出达朗贝尔公式的过程，与大家所熟悉的常微分方程的求解过程是完全类似的。但是
10、很可惜，绝大多数偏微分方程很难求出通解；即使已求得通解，用定解条件确定其中待定函数往往更加困难。除了达朗贝尔公式一类极少的例外，不可能先求偏微分方程的通解然后再考虑定解条件，必须同时考虑偏微分方程和定解条件进行求解,达朗贝尔方程是对方程解的理解，但对于一般复杂问题的情形，简单的行波解形式是求不出来的。,定解问题的适定性,有解解是唯一的解是稳定的稳定性：如果定解条件的数值有细微的改变，解的数值也只作细微的改变非线性偏微分方程的解就有可能是不稳定的，出现混沌。,很长时间以后，位移自然出现比较大的偏差,板书证明达朗贝尔解的稳定性。笔记 P7页,分离变数法（傅里叶级数法）,先求泛定方程通解的办法只适用
11、于很少数的某些定解问题。分离变数法（傅里叶级数法）是定解问题的一种基本解法，适用于大量的各种各样定解问题。分离变数法的基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。,课堂作业（5 分钟）笔记P69页,求解如下定解问题：,两端固定的均匀弦的自由振动,波在两端点之间反射，两列反向行进的同频率的波形成驻波，尝试驻波解,驻波,观看动画,驻波,在驻波中，有些点振幅最大，叫作波腹；有些点振幅最小，叫作波节。驻波没有波形传播现象，各点振动相位并不依次滞后。各点按同一方式随时间 t 振动，可以统一表示为 T(t)各点的振幅 X 随地点 x 变化，振幅 X 是 x 的函数 X(x),驻波,自变数 x 只出现于 X(x)之中，自变数 t 只出现于 T(t)之中，驻波的一般表示式具有分离变数的形式。尝试驻波解,板书讲解分离变量法 笔记 P7 页,
