《数项级数敛散性判别法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数项级数敛散性判别法.ppt（33页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、,第二节 数项级数敛散性判别法,一、正项级数及其敛散性,可知数列 为单调增加数列.,定理 正项级数 收敛的充分必要条件为：它的前n 项部分和所构成的数列 有上界.,对于正项级数，由于，因此,定理(比较判别法1)设两个正项级数 与 如果满足,那么,(1)若 收敛,则 收敛.（大的收敛小的必收敛）,(2)若 发散,则 发散.(小的发散大的必发散）,证明 对于正项级数 与，由 则有,如果 收敛,可知 有上界,从而知 有上界.再由正项级数收敛的充分必要条件可知 收敛.,如果 发散,可知 无界,从而知 无界.因此，级数 也发散.,推论 若正项级数 收敛，且存在N，当 时，有，则正项级数 也收敛.,若正项
2、级数 发散，且存在N，当 时，有，则正项级数 也发散.,解(1)因为,例 判定级数 的敛散性.,而级数 发散，由比较法知 发散.,因为,(2)对于正项级数,而级数 收敛，由比较法知 收敛.,例 判定级数 的敛散性.,解,故 为正项级数.,若取，则 为等比级数且收敛，,因此，由比较判别法可知 收敛.,因当x0时，有sin xx，因此,例 判定 p-级数（其中p0为常数）的敛散性.,若0p1,因，又调和级数 发散.,由比较判别法可知 发散.,解 若p=1，则级数为调和级数,发散.,若p1,将级数加括号有,后者级数为等比级数,公比,级数收敛.,因此，利用比较判别法可得知,当p1时，收敛.,综合上述有
3、,解(1)因为,(2)因为,例 判定 的敛散性.,而级数 收敛，由比较法知 收敛.,而级数 收敛，由比较法知 收敛.,在使用比较判别法时，需要根据待判别级数特征，选择一个比较级数，常用的比较级数为,定理(比较判别法2)设两个正项级数 与 且 若极限 则,（1）当 时，级数 与 敛散性相同.,（2）当 时，若级数 收敛，则级数 收敛.,（3）当 时，若级数 发散，则级数 发散.,为了使用上的方便，比较判别法可以写成下面极限形式.,例 判定级数 的敛散性.,解 所给级数的通项,由,或由,解 所给级数的通项,由于,例 判别级数 的敛散性.,因为 发散，由比较法知 发散.,解（1）由于,例 判别 的敛
4、散性.,因为 收敛，由比较法知 收敛.,（2）由于当 时,因为 收敛，由比较法知 收敛.,说明：比值判别法比比较判别法使用方便，它主要判别一般项由指数幂或阶乘等形式构成的正项级数的敛散性.但当 时，判别法失效.,定理(比值判别法)若正项级数 后项与前项之比值的极限，则（1）当 时，级数收敛；（2）当 时，级数发散；（3）当 时，级数可能收敛也可能发散.,解(1),所以原级数收敛.,例 判定 的敛散性.,（2）,所以原级数收敛.,例 判定级数 敛散性.,解 原级数为正项级数，其通项为,当ae时，原级数收敛；当0ae时，原级数发散.,例 判定级数 的敛散性.,解 所给级数为正项级数，其通项,由比较
5、判别法可知 发散.,比值判别法失效,利用比较判别法,因级数 发散.,定理(根值判别法)设正项级数 且（1）当 时，级数收敛；（2）当 时，级数发散；（3）当 时，级数可能收敛也可能发散.,说明：如果正项级数的一般项为n 次幂形式时，可以使用柯西根值判别法但当 时判别法失效.,解(1),所以原级数发散.,（2）,所以原级数收敛.,例 判定 的敛散性.,定理(积分判别法)设 是 上非负单调连续函数，则正项级数 与 同时敛散.,解 因为积分,所以原级数收敛.,例 判定级数 的敛散性.,3.使用比较判别法时,先选择适宜的比较级数,针对其敛散性,对级数一般项相对于比较级数进行适当的放大或缩小(或考虑相比
6、极限),再判别其敛散性.,判定正项级数 的敛散性应注意以下几点：,1.如果 易求，应先判定是否？若 则可知 发散.,2.可先考虑利用比值判别法（或根值判别法）判定其收敛性.,二、交错级数及其敛散性,交错级数 是指级数的各项是正负(或负正)相间的级数.设 其一般式为,定理(莱布尼茨定理)若交错级数 满足：,级数必定收敛,且其和,其余项 满足,则交错,证明 考察所给级数前2 n项的部分和，,由 知 为单调增加数列.又,因括号中的值皆非负,有 故数列 有界,且,由数列极限存在定理知极限 存在，设为,由于，再由条件 从而，可得,由极限性质：若 中的子列 与 都有极限，且两极限值相等，则 必有极限.因此
7、 收敛，且其和.,由于,为交错级数.,由前述讨论，知其收敛，且其和,例 判定 敛散性.,由莱布尼茨定理可知该交错级数收敛.,解 所给级数为交错级数，且 因为,三、绝对收敛与条件收敛,对于任意项级数,定理 若 收敛，则 必定收敛.,如果对其每一项均取绝对值则可得正项级数.,证,由比较判别法知，因,由性质知 收敛.,定义 如果 收敛，则称 绝对收敛.如果,级数 收敛，而 发散，则称 条件收敛.,说明：若级数 绝对收敛,则该级数 必定收敛.反之，若级数 收敛，则未必绝对收敛.,例 交错级数 收敛.,但级数 发散,故 条件收敛.,例 判定级数 的收敛性.如果它收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？,解 此级
8、数非交错级数，,为 的p-级数，为收敛级数.,其通项,从而知 收敛，且为绝对收敛.,解 因为x为任意实数，所以级数为任意项级数,由于,例 讨论级数 的敛散性.,所以，当 时，级数绝对收敛；当 时级数发散；,当 时，级数为调和级数，级数发散；当 时，级数 条件收敛,例 判定级数 的收敛性(其中p0),如果其收敛,是绝对收敛,还是条件收敛?,解 记，则.,当p1时，收敛，,因此 绝对收敛.,由,知交错级数 收敛,故为条件收敛.,数项级数,必要条件,正项级数,比值根值判别法,比较判别法,敛散性质定义,级数发散,交错级数,任意项级数,莱氏判别法,判别级数类型,绝对收敛,判别数项级数敛散性的过程,1.若任意项级数 发散，是否 必定发散？,2.若级数 发散，是否 必定发散？,思考题,
