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,第四节 曲线的凹凸性与拐点,一 曲线凹凸的定义,二 曲线凹凸的判定,三 曲线的拐点及其求法,问题 如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,一、曲线凹凸的定义,定义,如果恒有,凹弧：,曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。,凸弧：,曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。,定理1,二、曲线凹凸的判定,任取两点,证明:(1),即证,两式相加为：,即证：,事实上：,同理可证明(2）,例1,解：,注意,1.定义,注1 拐点处有切线时，切线 必在拐点处穿过曲线。,三、曲线的拐点及其求法,注2,证：,2.拐点的必要条件,由可导函数取得极值的条件，,3.拐点的求法,方法1,例2,解：,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例3,解：,方法2,注意,例4,解：,
