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1、,编,4.5 曲线的凹向、拐点与渐近线,curvilinear cave to with turn to order with asymptote,经,济,数,学,基,础,三、小结 思考题,二、曲线的渐近线,一、曲线的凹向与拐点,微,积,分,学,4.5 曲线的凹向、拐点与渐近线,一、曲线的凹向与拐点,1.1、问题的提出,1.2、曲线凹向的定义,1.3、曲线凹向的判定,1.4、曲线的拐点及其求法,二、曲线的渐近线,2.1、渐近线的定义,1.5、有关拐点的若干话题,2.2、分类,作业：p1963(1,2,6);4(1,3),2.2、有关渐近线的认识,三、小结,练习：p195 1,23(3,4,5)
2、;4(2,4),同样是单调上升的曲线,但却有不同的弯曲方向,如何研究曲线的弯曲方向？,曲线向上弯曲的弧段位于其上任一点处切线的上方,称为上凹.,1.1、问题的提出,一、曲线的凹向与拐点,曲线向下弯曲的弧段位于其上任一点处切线的下方,称为下凹.,定义4.3,1.2、曲线凹向的定义,一、曲线的凹向与拐点,若在某个区间内,曲线弧位于其上任一点的切线上方,则称曲线在该区间内是上凹的;若曲线弧位于其上任一点的切线下方,则称曲线在该区间内是下凹的.,注:上凹简称凹,也称下凸;下凹简称凸,也称上凸.,图形分析,结论:利用一阶导数符号来研究函数的增减性;利用二阶导数的符号来研究函数的凹凸性.,1.3、曲线凹向
3、的判定,一、曲线的凹向与拐点,证明略。,例1,解,定理4.10 设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,若对x(a,b),有f(x)0,则曲线y=f(x)在(a,b)内上凹;若对x(a,b),有f(x)0,则曲线y=f(x)在(a,b)内下凹.,注意到:,例2.求 y=x4-2x2+3 的凹向区间.,解,列表考察 的符号,一、曲线的凹向与拐点,+,-,+,上凹,上凹,下凹,故下凹区间为,上凹区间为,从左图可以看出：曲线上有两点为曲线从上凹转为下凹和从下凹转为上凹的分界点，由于在这些点处曲线拐弯，故称这种点为曲线的拐点.,一、曲线的凹向与拐点,1.4、曲线的拐点及其求法,曲线的拐点:曲线上连接
4、上凹与下凹的分界点.,注拐点处二阶导数f(x)=0或f(x)不存在;,注,求凹向区间,拐点的步骤：写出函数的定义域D(y)；求出使f(x)=0的点和使f(x)不存在的点；由上述点划分定义域为若干区间,在各区间内,若 f(x)0,则为上凹区间;f(x)0,则为下凹区间;若上述各点是不同凹向区间分界点,则与该点对 应的曲线上的点就是拐点;反之则不是拐点.,一、曲线的凹向与拐点,例3,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,一、曲线的凹向与拐点,例4,解,例5.求曲线 的凹向区间及拐点.,解：,故 上凹区间：下凹区间：拐点,一、曲线的凹向与拐点,解,列表考察一阶、二阶导数的符号,例6 求 增减、凹向区间、
5、极值与拐点.,x=1 不可导点,故函数的单增区间为(0,2)，单减区间为 上凹区间,下凹区间,极小值 极大值，拐点,一、曲线的凹向与拐点,若(a,f(a)为曲线 y=f(x)的拐点,则其必在曲线上；若y=f(x)二阶可导,且(a,f(a)为拐点,则必有;的点称驻点，的点无名份,二者间切莫混.,一、曲线的凹向与拐点,1.5、有关拐点的若干话题,若,函数单增若,函数单减,增减区间,凹向区间,求 或 不存在的点,求 或 不存在的点,上述各点分定义域为若干区间,考察各 符号,上述各点分定义域为若干区间,考察各 符号,若,曲线上凹若,曲线下凹,求增减区间 与凹向区间方法比较,一、曲线的凹向与拐点,写出函
6、数的定义域,写出函数的定义域,综上可知：增减凹向四步曲,率先当推定义域;求得界点列出表,考察符号全无敌.,极值点与拐点比较,综上可知：一阶导数知升降，二阶导数晓凹向；极值拐点有区别，灵活运用细思量。,一、曲线的凹向与拐点,Back,二、曲线的渐近线,2.1、渐近线的定义,若曲线y=f(x)上的动点P沿曲线无限远离坐标原点时，该点P与某条定直线L的距离趋于零，则称该定直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线.,2.2、分类,水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,注:设曲线 y=f(x)的定义区间为无限区间，若 则曲线向左无限延伸时，以直线 y=b1为其一条水平渐近线；若 则曲线向右无限延伸时，以直线
7、 y=b2为其一条水平渐近线；若 则曲线向左右无限延伸时，都以直线 y=b为其水平渐近线.,二、曲线的渐近线,二、曲线的渐近线,例8.求 的水平渐近线,曲线向右延伸，以 y=1为水平渐近线,二、曲线的渐近线,铅垂渐近线,如果函数y=f(x)在点x=a处间断，且,则曲线向上方或下方无限延伸时，以直线x=a为铅垂渐近线.,注意：若x=a 是函数的无穷间断点，必为曲线的铅垂渐近线；无穷大有正、负无穷大之分，具体解题应分清.,例如,有铅直渐近线两条:,二、曲线的渐近线,例9 求 的水平渐近线和铅垂渐近线,x=0为函数的间断点，又因为,故x=0为曲线的一条铅垂渐近线,例10.求 的铅垂渐近线.,解：为间
8、断点,故 x=1 不是铅垂渐近线，,故 x=-1 是铅垂渐近线,注意:由于x时,y1;故y=1是水平渐近线.,二、曲线的渐近线,斜渐近线,斜渐近线求法:,二、曲线的渐近线,注意:,注意：在同一个方向上，若曲线有水平渐近线，则必无斜渐近线，反之亦然.,二、曲线的渐近线,例11.求 的斜渐近线,解,故 y=x 为曲线的斜渐近线,注：关于渐近线我们要防止如下的错误认识：渐近线与曲线不能相交?是可以相交的！如,例12,解,二、曲线的渐近线,的两条渐近线如图,渐近线都是直线,但斜率不同,水平渐近线平行于x轴；,铅垂渐近线垂直于x轴；,斜渐近线斜交于x轴。,若将自变量的变化趋势作为横坐标，函数的趋势为纵坐标，则可将渐近线简记为：,水平渐近线：,铅垂渐近线：,斜渐近线：,无穷间断点,二、曲线的渐近线,2.2、有关渐近线的认识,Back,
