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1、2.2.2双曲线简单的几何性质(1),|MF1|-|MF2|=2a（2a|F1F2|）,F(c,0)F(0,c),2、对称性,一、研究双曲线 的简单几何性质,1、范围,关于x轴、y轴和原点都是对称的.,x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。,(-x,-y),(-x,y),(x,y),(x,-y),3、顶点,（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点,只有两个！,M(x,y),4、渐近线,N(x,y),慢慢靠近,动画演示,离心率。,ca0,e 1,e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!,（1）定义：,（2）e的范围：,（3）e的含义：,5、离心率,（4）等轴
2、双曲线的离心率e=?,(5),焦点在x轴上的双曲线的几何性质,双曲线标准方程：,1、,范围：,xa或x-a,2、对称性：,关于x轴，y轴，原点对称。,3、顶点:,A1（-a，0），A2（a，0）,4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2,5、渐近线方程：,6、离心率：,e=,（1）范围:,（4）渐近线:,（5）离心率:,焦点在y轴上的双曲线的几何性质,关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（-a，0），A2（a，0）,A1（0，-a），A2（0，a）,关于x轴、y轴、原点对称,渐进线,F2(0,c)F1(0,-c),例1、求下列双曲线的渐近线方程(1)4x29y2
3、=36,(2)25x24y2=100.,2x3y=0,5x2y=0,例2:求双曲线,的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。,解：把方程化为标准方程,可得:实半轴长a=4,虚半轴长b=3,半焦距c=,焦点坐标是(0,-5),(0,5),离心率:,渐近线方程:,例3:,1、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的离心率为。2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角为。,3、求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P(1,3)且离心率为 的双曲线标准方程.,例4:求下列双曲线的标准方程：,例4:求下列双曲线的标准方程,共准线的双曲线方程:,法二：巧设方程,运用待定系数法.设双曲线方程为,例4:
4、求下列双曲线的标准方程,例4:求下列双曲线的标准方程,例4:求下列双曲线的标准方程,结论:与双曲线 有共同焦点的双曲线方程表示为,法二：设双曲线方程为,双曲线方程为,解之得k=4,1、“共渐近线”的双曲线,0表示焦点在x轴上的双曲线；0表示焦点在y轴上的双曲线。,2、“共焦点”的双曲线,（1）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表 示为,（2）与双曲线 有共同焦点的双曲线方程表示为,总结：,双曲线的渐近线方程为,解出,2.2.2双曲线简单的几何性质(2),关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（-a，0），A2（a，0）,B1（0，-b），B2（0，b）,F1(-c,
5、0)F2(c,0),关于x轴、y轴、原点对称,A1（-a，0），A2（a，0）,渐进线,无,关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（-a，0），A2（a，0）,A1（0，-a），A2（0，a）,关于x轴、y轴、原点对称,渐进线,F2(0,c)F1(0,-c),1、“共渐近线”的双曲线,0表示焦点在x轴上的双曲线；0表示焦点在y轴上的双曲线。,2、“共焦点”的双曲线,（1）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表 示为,（2）与双曲线 有共同焦点的双曲线方程表示为,引例：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线 的距离比是常数(ca0)，求点M的轨迹.,解：,设
6、点M(x,y)到l的距离为d，则,即,化简得,(c2a2)x2 a2y2=a2(c2 a2),设c2a2=b2，,(a0,b0),故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.,b2x2a2y2=a2b2,即,就可化为:,点M的轨迹也包括双曲线的左支.,一、双曲线的第二定义,一、双曲线的第二定义,平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。,定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.,对于双曲线,是相应于右焦点F(c,0)的右准线,类似于椭圆,是相应于左焦点F(-c,0)的左准线,点M到左焦点与左准线
7、的距离之比也满足第二定义.,想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？,相应于上焦点F(c,0)的是上准线,相应于下焦点F(-c,0)的是下准线,例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离和它到定直线：的距离的比是常数,求点M的轨迹.,由已知：,解：,a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:,作MNl,AA1l,垂足分别是N,A1,N,A1,当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2,解得:,归纳总结,1.双曲线的第二定义,平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。,定点F是双曲线的焦点，定直线叫
8、做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。,2.双曲线的准线方程,对于双曲线,准线为,对于双曲线,准线为,注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.,椭圆与直线的位置关系及判断方法,判断方法,0,=0,0,（1）联立方程组,（2）消去一个未知数,（3）,复习:,相离,相切,相交,二、直线与双曲线的位置关系,1)位置关系种类,X,Y,O,种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点),2)位置关系与交点个数,相离:0个交点,相交:一个交点,相交:两个交点,相切:一个交点,3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序,把直线方程代入双曲线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与双曲线的渐
9、进线平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0,1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。,2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,特别注意直线与双曲线的位置关系中：,一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支,例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.,(3)k=1，或k=；,(4)-1k1；,(1)k 或k；,(2)k；,1.过点P(
10、1,1)与双曲线,只有,共有_条.,变题:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?,4,1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.,交点的,一个,直线,（1，1）,。,2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_,例1、如图，过双曲线 的右焦点倾斜角为 的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。,三、弦长问题,韦达定理与点差法,例.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求：(1)以2为斜率的弦的中点轨迹；(2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；(3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程.(4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；,Thank You!,复习练习：,3、求以椭圆 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。,例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).,A,A,0,x,C,C,B,B,y,例题讲解,
