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1、第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程,用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个,当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？,两条相交直线,圆,椭圆,双曲线,抛物线,一、引入,结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆。,常数必须大于两定点的距离,1、椭圆的定义：,平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做椭圆。,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的
2、焦距|F1F2|=2c。,几点说明：,1、椭圆定义式：|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c.则M点的轨迹是椭圆.,2、若|MF1|+|MF2|=2a=|F1F2|=2c，则M点的轨迹是线段F1F2.,3、若|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c，则M点的轨迹不存在.,二、讲授新课,应用举例,例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。,(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。,(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。,(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。,解(1)因|MF1|+|MF2|=6|F
3、1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。,(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。,(3)因|MF1|+|MF2|=3|F1F2|=4，故点M的轨迹不成图形。,O,x,y,F1,F2,M,如图所示：F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c)的动点M的轨迹方程。,解：以F1F2所在直线为X轴，线段F1F2 的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，,则:|MF1|+
4、|MF2|=2a 且2a2c,2、椭圆标准方程及其推导,求曲线轨迹方程的步骤：1、建系 2、设标 3、列式 4、化简 5、检验（可省略不写）,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：,b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得：,(ab0),这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。,a,c,b,O,X,Y,F1,F2,M,
5、(-c,0),(c,0),O,X,Y,F1,F2,M,(0,-c),(0,c),椭圆的标准方程的几点说明：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1,（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,（3）椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一条轴上，大分母为a2，小分母为b2.,椭圆的标准方程,分母哪个大，焦点就在哪个轴上,a2-c2=b2,3、椭圆的标准方程小结,|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0),例3、椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。,例4、动点P到两定点
6、F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为（）A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定,B,例5、椭圆 上一点P到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离是（）A.5 B.7 C.8 D.2,B,例6、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则动点P的轨迹为（）,A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹,D,例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.,解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,所以,又因为,所以,因此,所求椭圆的标准方程为,例
7、2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.,解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,联立,因此,所求椭圆的标准方程为,求椭圆标准方程的解题步骤：,（1）确定焦点的位置；,（2）设出椭圆的标准方程；,（3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程.,例3椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。,解：椭圆的焦点在x轴上设它的标准方程为:2a=10,2c=8 a=5,c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为,1、建系 2、设标 3、列式 4、化简 5、检验（
8、可省略不写）,例5、如图，设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。,解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是，所以直线 AM的斜率,同理，直线BM的斜率,由已知有,化简，得点M的轨迹方程为,椭圆的一般形式,例6、（1）求椭圆的标准方程：经过点P（-，2），Q（，-）,（2）已知一椭圆的焦距为2，且经过点（2，2），求椭圆的标准方程。,填空：(1)已知椭圆的方程为：，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_,课前练习,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0
9、,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。,|CF1|+|CF2|=2a,(2)已知椭圆的方程为：,则 a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_，焦距 等于_;若曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_，则F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,P,|PF1|+|PF2|=2a,课后练习：,1 化简方程：,4 设F1，F2为定点,|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点的轨迹是（）,（A）椭圆（B）直线（C）线段（D）圆,5 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是_,0k1,6 已知B、C是两个定点，BC=6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程,
