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1、1,3-3 Cauchy积分公式和高阶导数公式,一、解析函数的Cauchy积分公式二、解析函数的高阶导数定理,2,1.问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线,C的变化而改变,求这个值.,一、解析函数的Cauchy积分公式,3,4,2.Cauchy积分公式,Cauchy积分公式,定理1,5,证明：以 为心作一完全包含于 内的圆盘,并且记其边界为圆.在 上，挖去圆盘,余下的点集是一个闭区域.在 上 函数解析,由柯西积分定理有：在这里沿 的积分是按照 区域的正向取的，沿 的积分是按正向取的,即逆时针方向.以下我们证明：,6,记 由柯西积分定理知：是个不依赖于 的常数，从而我们证明由于和
2、在z0 是连续的，所以对于任意的，可以找到,7,使得当，时，有从而当,从而,故,8,定理1对于由 条围线所围成的复连通区域仍然有效,定理1从揭示解析函数的性质、表示解析函数及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示定理1为我们提供了计算如（*）式左端的积分的方法,这类积分的特征是:积分路径是围线,被积函数为一分式,它在积分路径内部只含一个奇点,且该奇点是使分母 为零的点,而在积分路径上无被积函数的奇点,（*）,9,关于Cauchy积分公式的说明:,把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示.,（这是解析函数的一个重要特征）,(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法,而且给出
3、了解析函数的一个 积分表达式.,(这是研究解析函数的有力工具),10,例1,解,由Cauchy积分公式,11,例2,解,由Cauchy积分公式,12,例3 计算积分,解 首先，识别积分的类型它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同由此想到利用（*）式计算积分最后，经验证，所求积分满足定理1的条件，于是，由（*）式得,13,解 首先，识别积分类型它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较，在形式上是不一样的但是，如果将它变形为,例4 计算积分,那么在形式上与（*）式左端的
4、积分一样由此利用（*）式计算最后，经验证所求积分满足定理1的条件，于是由（*）式得,14,例5计算积分,作,，有,计算上式右端两个积分,故,15,观察下列等式,问题：解析函数的导函数一定为解析函数？若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？,16,高阶导数公式的作用:,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.,二、解析函数的高阶导数定理,定理2,17,证 利用数学归纳法证明该定理,设，证上式成立，即证(1),欲证(1)式，只须证,18,于是,由此有,故,即,19,设 时，题设式子成立，证 时，题设式子成立，即证,20,假设（3-3-3）当 时成立。,设以 为心，以 为半径的圆盘完全包含在 内
5、，并且在这圆盘内取 使得，那么当 时，,21,那么,22,由此可以证明：当，的右边趋于零。于是（3-3-3）当 时成立。证毕。,由与证得定理,23,推论：若函数 在点 解析，则存在点 的一个邻域，使得在该邻域内 有任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数 和 的各阶偏导数不仅存在而且都连续。证明：由函数在点 解析知：可作一圆盘使得 在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理2。,24,例6计算积分,解：由高阶导数公式,25,解 首先，识别积分的类型它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分 其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同由此想到用（*
6、）式计算积分 最后，经验证，所求积分满足定理2的条件，由（*）式得,例7计算积分,26,例8（1）（2）,解（1）函数 的奇点 在圆 的内部，而其它的两个奇点在左半平面，从而在该圆的外部。于是函数 在闭圆盘 上解析，由定理2 可得：,（2）同理 其中在闭圆盘 上解析，因此,27,例9,解,28,29,典型例题,例,解,由Cauchy积分公式,30,例,解,根据Cauchy积分公式知,31,例,解,32,例,解,33,由复合闭路定理,得,例,解,34,例,解,35,根据复合闭路原理,36,于是,37,例,解,由Cauchy 积分定理得,由Cauchy积分公式得,38,39,例,解,40,根据复合闭路原理和高阶导数公式,41,42,课堂小结：掌握柯西积分公式；2.掌握解析函数的高阶导数公式，了解解析函数无限次可导的性质.,43,第三章作业：P99 5.6.（1）（2）7.（1）（2）（3）（5）（9）8.（1）（4）9.（2）（3）（5）10.30.（1）（3）,
