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1、第五章 测量误差的基本知识,5.1 测量误差的概念与分类 5.2 偶然误差的统计特性5.3 评定精度的指标5.4 误差传播定律及其应用5.5 同精度独立观测量的最佳估值及其中误差5.6 广义算术平均值及权,本章要点,本章主要介绍测量误差理论的基础知识，包括误差的分类、衡量精度的指标、误差传播定律、中误差的计算方法、同精度观测、不同精度观测、权的含义等内容。学习过程中学生应重点掌握偶然误差的统计特性、中误差计算、误差传播定律的应用、定权的方法。,5.1 测量误差的概念与分类,观测误差真值：观测量客观上存在的一个理论值，用i表示。观测值：对某量观测所得的值，用Li表示。真误差：观测值与真值之差，用
2、i=Li-X表示。测量误差或观测误差：表现为观测值与其真实值之间的差异。i=Li-180,测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值：三角形+180 闭合水准 h0,5.1.2 测量误差的来源,等精度观测：观测条件相同的各次观测。不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。,1.仪器误差,2.观测误差,3.外界条件的影响,观测条件,粗差：因读错、记错、测错造成的错误。,如：i角误差、尺长误差等，一般由于仪器校正不完善所致 如：照准误差、读数误差等，由于观测者感官有限所致 地球曲率、大气折光等,5.1.3 测量误差的分类,在
3、相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。,1、系统误差：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。,例：钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 经纬仪 c角、i角 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。,消除和削弱的方法:（1）校正仪器；（2）观测值加改正数；（3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。,在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都
4、没有表现出一致的倾向，即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。,2、偶然误差,偶然误差的特性,真误差,观测值与理论值之差,绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；,同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即：,在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度;（有界性）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（密集性、区间性）,（抵偿性）,3 粗差,测量中不小心出现的错误，例如，读错数、记错数，测错目标等,误差处理的原则：,1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。,2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。,3、偶然误
5、差：根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响。,5.3 评定精度的指标精度：又称精密度，指在对某量进行多次观测中，各观测值之间的离散程度。,评定精度的标准,中误差 容许误差 相对误差极限误差,5.3.1 中误差,定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1，l2，ln，偶然误差（真误差）1，2，n，则中误差m的定义为：,式中,式中：,例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。,解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：，说明第一组的精度高于第二组的精度。,说明：中误差越小，观测精度越高,定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过
6、一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。,二、容许误差（极限误差）,测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即容=2m 或容=3m。,极限误差的作用：区别误差和错误的界限。,偶然误差的绝对值大于中误差9的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18 的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。,中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。,相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即:,三、相对误差,一般情况:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。,例 已知：D1=100m,m1=0.0
7、1m，D2=200m,m2=0.01m，求：K1,K2解：,5.4 误差传播定律及其应用误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。,函数形式,倍数函数和差函数线性函数一般函数,设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得,一、一般函数,式中：是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：,误差传播定律的一般形式,例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差,二、线性函数的误差传播定律,设线
8、性函数为：,式中 为独立的直接观测值，为常数，相应的 观测值的中误差为。,1.列出观测值函数的表达式：2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。,求观测值函数中误差的步骤：,三、运用误差传播定律的步骤,3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。,误差传播定的几个主要公式：,设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为l1、l2ln，中误差为m1、m2 mn，则其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：,最佳估值的计算,L,设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为（i=1，2
9、，n）将上式相加得 或故,推导过程：,由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即（算术平均值）说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。,因为 式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。设平均值的中误差为mL，则有,二、算术平均值中误差mL,由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。,故,三、精度评定,第一公式,第二公式（白塞尔公式）,条件：观测值真值 x已知,条件：观测值真值 x 未知，算术平均值L已知,其中 观测值改正数，,证明：,（i=1，2，3，n）,两式相加，有,即,解：,（i=1，2，3，n）,设 则,将上列等式两端各自平方，并求其和，则,将 代入上式，则,故,（PQ）,又因,由于 为偶然误差，它们的非自乘积 仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特性，即,例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于 表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。,算术平均值L中误差是：,
