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1、齐次方程,第三节,一、齐次方程,*二、可化为齐次方程,第七章,(homogeneous equation),一、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,可分离变量的方程,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当 C=0 时,y=0 也是方程的解),(C 为任意常数),例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,例 1 求解微分方程,例 2
2、 求解微分方程,例 3 求解微分方程,例 4 求解微分方程,微分方程的解为,解,例 5 求解微分方程,解,微分方程的解为,可得 OMA=OAM=,例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕 x 轴旋转而成.,过曲线上任意点 M(x,y)作切线 M T,由光的反射定律:,入射角=反射角,取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO=OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.,而 AO,于是得微分方程:,利用曲线的对称性,不妨设 y 0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),顶到底的距离为 h,说明:,
3、则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得,(h,k 为待,*二、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出 h,k,(齐次方程),定常数),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注:上述方法可适用于下述更一般的方程,例4.求解,解:,令,得,再令 YX u,得,令,积分得,代回原变量,得原方程的通解:,得 C=1,故所求特解为,思考:若方程改为,如何求解?,提示:,解,代入原方程得,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,例 求解微分方程,解,令,再令,两边积分后得,变量还原得,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程
4、,原方程的通解为,通解为,解,三、小结,齐次方程,齐次方程的解法,可化为齐次方程的方程,作业 P309 1；2;3;,【k次齐次函数和k次齐次方程的概念】,若对于任意的(x,y,z)和任意的实数t,总有 f(tx,ty,tz)=(tk)f(x,y,z)，则称函数f(x,y,z)为k次齐次函数。称方程f(x,y,z)=0为k次齐次方程。,若f(x,y)为0次齐次函数，则称 y=f(x,y)是一阶齐次型方程。,对于代数线性方程au+bv+c=0,称a，b为系数，c为自由项。设f(u,v)=au+bv+c,那么当c=0时，f(tu,tv)=tf(u,v)，称au+bv=0是齐次方程；当c0时，f(t
5、u,tv)tf(u,v)，称au+bv+c=0是“非”齐次方程。,补充：,当我们把：a(x),b(x)称为系数，把c(x)称为自由项，那么f(u,v)=a(x)u+b(x)v+c(x)关于u,v线性的，当c(x)=0时，f(u,v)=a(x)u+b(x)v关于u,v线性的，齐次的。当c(x)0时，f(u,v)=a(x)u+b(x)v+c(x)关于u,v线性的,非齐次的。,把u换成y，v换成y，就得到f(y,y)=a(x)y+b(x)y+c(x)关于y,y线性的，a(x)y+b(x)y+c(x)=0 是关于y,y的线性方程，再沿用前面的齐次和非齐次的概念：当c(x)=0时，a(x)y+b(x)y=0 是关于y,y的线性齐次方程。当c(x)0时，a(x)y+b(x)y+c(x)=0 是关于y,y的线性非齐次方程。,【线性齐次和线性非齐次】,
