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1、高等数学Advanced Mathematics,第六章 定积分,一、定积分问题举例,二、定积分的定义,三、定积分的几何意义,四、定积分的性质,第一节 定积分的概念与性质,1.曲边梯形的面积,定积分概念也是由大量的实际问题抽象出来的。,求由连续曲线,一、定积分问题举例,用矩形面积,梯形面积,（五个小矩形）,（十个小矩形）,思想:,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边,近似取代曲边梯形面积,采取下列四个步骤来求面积A.,(1)分割,(2)取近似,长度为,为高的小矩形,面积近似代替,(3)求和,这些小矩形面积之和可作为曲边梯形,面积A的近似值.,(4)求极限,为了得到A的精确值,取极限,形的面积
2、:,分割无限加细,极限值就是曲边梯,二、定积分的定义,设函数f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入,定义,若干个分点,把区间a,b分成n个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并作和,记,如果不论对,(1),(2),(3),(4),被积函数,被积表达式,记为,积分和,怎样的分法,也不论在小区间,上点,怎样的取法,只要当,和S总趋于确定的,极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的,定积分.,积分下限,积分上限,积分变量,a,b积分区间,(2),的结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理.,定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数,有关;,
3、无关.,而与积分变量的记号无关.,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,1.几何意义,三、定积分的几何意义,几何意义：,各部分面积的代数和.,取负号.,它是介于x轴、函数 f(x)的图形及两条,直线 x=a,x=b之间的,在 x 轴上方的面积取正号;,在 x 轴下方的面积,例,解,定理1,定理2,或,记为,黎曼 德国数学家(18261866),可积.,且只有有限个间,可积.,当函数,的定积分存在时,可积.,黎曼可积,断点,充分条件,四、定积分的存在定理,解,例 用定义计算由抛物线,和x轴所围成的曲边梯形面积.,直线,小区间,的长度,取,对于任一确定的自然数,积分和,当n取不同值时,近似值精度不
4、同.,n取得越大,近似程度越好.,对定积分的补充规定：,说明,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,第二节 定积分的性质,证,(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况),性质1,性质2,性质1和性质2称为,线性性质.,补充:,例,(定积分对于积分区间具有可加性),则,性质3,假设,的相对位置如何,上式总成立.,不论,证,性质4,性质5,如果在区间,则,解,令,于是,比较积分值,和,的大小.,例,性质5的推论1,证,如果在区间,则,于是,性质5,如果在区间,则,证,说明,性质5的推论2,性质5,如果在区间,则,可积性是显然的.,由推论1,证,(此性质可用于估计积分值的大致范
5、围),性质6,分别是函数,最大值及最小值.,则,解,估计积分,例,解,估计积分,例,证,由闭区间上连续函数的介值定理:,性质7(定积分中值定理）,如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立:,积分中值公式,至少存在一点,使,即,定理用途,无论从几何上,还是从物理上,都容易理解,平均值公式,求连续变量的平均值要用到.,如何去掉积分号来表示积分值.,积分中值公式的几何解释,至少存在一点,在区间,使得以区间,为底边,以曲线,为曲边的曲边梯形的,面积,等于同一底边而高为,的一个矩形的面积.,例,证,由积分中值定理有,(a为常数),证明,证,夹逼定理,即得,3.定积分的性质,(注意
6、估值性质、积分中值定理的应用),4.典型问题,(1)估计积分值;,(2)不计算定积分比较积分大小.,小结,1.定积分的实质:特殊和式的极限.,2.定积分的思想和方法:,以直代曲、以匀代变.,四步曲:,分割、,取近似、,求和、,取极限.,思想,方法,解,例,定积分几何意义,求电动势,在一个周期上的,平均值,讨论定积分的近似计算问题:,存在.,用分点,长度,取,有,每个小区间,对任一确定的自然数,将 分成n个长度相等的小区间,将 n等分,取,如取,矩形法,公式,矩形法的几何意义,第三节 微积分基本公式,一、问题的提出,二、积分上限函数及其导数,三、牛顿 莱布尼茨公式,(v(t)和s(t)的关系),
7、通过定积分的物理意义,例,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,(v(t)和s(t)的关系),设某物体作直线运动,已知速度,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.,是时间间隔,一、问题的提出,其中,积分的有效、简便的方法.,找到一个计算定,如果能从v(t)求出s(t),这正是第四章已经解决了的微分运算的,？,定积分的计算是否有捷径可寻,进行一般性 的讨论.,运算.,定积分,运算就可化为减法,启发：,不定积分问题.,逆运算,定积分,积分上限函数,一定要分清函数的,如果上限 x 在区间a,b上任意变动,每一个取定的x值,则对于,定积分有一个对应值,所以它,在a,b上定义了一个函
8、数,设f(x)在a,b中可积,则对任一点,与,自变量x,积分变量t.,二、积分上限函数及其导数,这个函数的几何意义,下面讨论这个函数的可导性.,是如图红色部分,的面积函数.,证,定理1(原函数存在定理),因为,从而,积分中值定理,定积分性质3,故,定理1指出:,积分联结为一个有机的整体,(2)连续函数 f(x)一定有原函数,就是f(x)的一个原函数.,(1)积分运算和微分运算的关系,它把微分和,所以它是微积分学基本定理.,函数,微积分,推论,例,解,例,解,推论,例,例,解,?,例,解,这是 型不定式,分析,应用洛必达法则,证,令,为单调增加函数.,证明:,只有一个解.,例,所以原方程,只有一
9、个解.,证,例,证明函数,为单调增加函数.,为单调增加函数.,故,分析,求,必须先化掉,积分号,只要对所给积分方程两边求导即可.,解,对所给积分方程两边关于x求导,得,练习,需先求出,即,变上限函数,微积分学基本定理,例,解,这是 型不定式,分析,应用洛必达法则,证,令,为严格单调增加函数.,证明:,只有一个解.,例,所以原方程,只有一个解.,定理2(牛顿-莱布尼茨公式),证,牛顿(英)16431727,莱布尼茨(德)16461716,如果,是连续函数,的一个原函数,则,都是f(x)在a,b,因为,上的原函数,故有,C是待定常数,即有,三、牛顿莱布尼茨公式,牛顿(Newton)莱布尼茨(Lei
10、bniz)公式,微积分基本公式,特别,微积分基本公式表明,求定积分问题转化为求原函数的问题.,一个连续函数在区间a,b上的定积分等于,它的任意一个原函数在区间a,b上的增量.,仍成立.,例,原式,解,面积,例,解,平面图形的面积.,所围成的,例,解,例,解,由图形可知,如被积函数是分段函数,应分段分成几个,再用牛莱公式.,积分,解,例,例,解,如被积函数有绝对值,再用,去掉后,N-L公式.,应分区间将绝对值,例,已知函数,求积分上限的函数,解,分段函数,?,错!,已知函数,求积分上限的函数,正确做法,例,解,则,例,解,此极限实为一积分和的极限.,定积分是代数和的推广,无穷小的无限项的代数和.
11、,即它表示每项为,用定积分求极限时,需将(1)式中的两个,任意量,用特殊的值处理.,例,解,计算定积分,令,微积分基本公式,积分上限函数(变上限积分),积分上限函数的导数,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,小结,例,利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一点,证,最值定理,有最大值M,和最小值m,介值定理,即证.,技巧,例 求,解,原式=,证,例,证明函数,为单调增加函数.,为单调增加函数.,故,解,原式=,例,已知两曲线,在点,处的切线相同,写出此切线方程,并求极限,解,故所求切线方程为,例,例,解,求极限,分析,求,必须先化掉,积分号,只要对所给积分方程两边求导即可.,解,对所
12、给积分方程两边关于x求导,得,练习,需先求出,即,对吗?,错!,分析,其中的x对积分过程,是常数,而积分结果,是x的函数.,若被积函数是积分上限(或下限)的函数中的,注意,变量 x 及积分变量 t 的函数时,应注意 x与t 的区别.,对 x求导时,绝不能用积分上限(或下限)的变量x替,换积分变量.,练习,问:,对吗?,故,正确解答,因为,常义积分,积分区间有限,被积函数有界,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,广义积分,推广,无界域的面积,电容器放电问题等等.,(反常积分),一、无穷限的广义积分,二、无界函数的广义积分,第五节 广义积分,定义1,即,当极限存在时,称广义积分,当极限不存
13、在时,称广义积分,如果极限,存在,则称这个极限值为,广义积分,(1),收敛;,发散.,一、无穷限的广义积分,即,当极限存在时,称广义积分,当极限不存在时,称广义积分,存在,如果极限,则称这个极限值,广义积分,(2),收敛;,发散.,如果广义积分,和,都收敛,则称上述两广义积分之和为函数,称广义积分,上的广义积分,即,收敛;,记作,发散.,否则称广义积分,(3),为了方便起见,规定:,对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式,例 计算广义积分,解,广义积分的积分值,的几何意义,例 计算广义积分,解,证,因此,收敛,其值为,发散.,例 证明广义积分,定义2,即,当极限不存在时,称广义积分,则称此极
14、限为,仍然记为,如极限,存在,也称广义积分,函数,二、无界函数的广义积分,(瑕积分),广义积分,收敛;,发散.,瑕点,(1),否则,则定义,如极限,存在,(2),称广义积分,发散.,点 为 瑕点,若等号右边两个广义积分,如果,则定义,否则,就称广义积分,发散.,都收敛,(3),广义积分,如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分.,通常用瑕点将区间分开,点 为 瑕点,连续,例 计算广义积分,解,为瑕点,这个广义积分值的,直线x=0与x=a,位于曲线,x 轴之上,之间的图形面积.,几何意义,之下,为了方便起见,由NL公式,则广义积分,规定:,例 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,为瑕点,证,广义
15、积分收敛,其值为,广义积分发散.,例 证明广义积分,例 求,正解,发散.,也发散.,解,错!,积分 的瑕点是哪几点？,解,积分,不是瑕点,的瑕点是,可能的瑕点是,又,例,无界函数的广义积分(瑕积分),无穷限的广义积分,注意,小结,1.不要与常义积分混淆;,2.不能忽略内部的瑕点.,练习,1.计算,解,2.位于曲线,下方,x轴上方的,无界图形的面积是,解,例,解,考虑,由于被积函数为奇函数,积分区间又为对称区间,由定义可知,因而,?,只有上述两个极限都存在时,才能使反常,但是上述两个极限都不存在.,故知,积分收敛.,为对称区间.,其错误的原因在于认定,不成立的.,对于反常积分来说,对称区间上的性质,各不相关.,证,例 证明广义积分,收敛,发散.,并求其值.,令,例 证明,解,解答,恒等于常数.,例,Thanks for your attention！,
