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1、20102011学年第一学期高等数学期末复习题,一、函数的极限与连续,第1题 1/2第2题 1/2第3题 1/2第4题 1/2第5题 1/2第6题 1/2第7题 1/2,第8题 1/2第9题 1/2第10题 1/2第11题 1/2第12题 1/2第13题 1/2第14题 1/2,二、函数的导数和微分及其应用,第1题 1/2第2题 1/2第3题 1/2第4题 1/2第5题 1/2第6题 1/2第7题 1/2第8题 1/2第9题 1/2第10题 1/2,第11题 1/2第12题 1/2第13题 1/2第14题 1/2第15题 1/2第16题 1/2第17题 1/2第18题 1/2第19题 1/2第
2、20题 1/2,三、不定积分和定积分及其应用,第1题 1/2第2题 1/2第3题 1/2第4题 1/2第5题 1/2第6题 1/2第7题 1/2第8题 1/2第9题 1/2,第10题 1/2第11题 1/2第12题 1/2第13题 1/2第14题 1/2第15题 1/2第16题 1/2第17题 1/2第18题 1/2,四、简单的微分方程,第1题 1/2第2题 1/2第3题 1/2第4题 1/2,一、函数的极限与连续第1、2题,第1、2题分析：代入法：分子、分母均趋于0，失效！方法一：因式分解，约去趋于0的因子；方法二：根据“0/0”特征，使用洛必达法则。,一、函数的极限与连续第1题,一、函数的
3、极限与连续第2题,一、函数的极限与连续第3、4题,第3、4题分析：属于x时的多项式除法，不能使用代入法；方法一：分子、分母同时除以两个多项式中的最高次项（本题中为x 2）；方法二：根据“/”特征，使用洛必达法则。,一、函数的极限与连续第3题,一、函数的极限与连续第4题,一、函数的极限与连续第5、6题,第5、6题分析：属于重要极限 或等价无穷小类的极限 问题；方法一：利用等价无穷小，即x0时，xsinx，xtanx；方法二：根据“0/0”特征，使用洛必达法则。,一、函数的极限与连续第5题,一、函数的极限与连续第6题,一、函数的极限与连续第7、8题,第7、8题分析：重要极限 的等价形式 类的极限问
4、题；口诀：前面是一家“1”；内外成倒数，指数趋无穷；方法：根据“口诀”，先解决括号内的加减问题，再解决括号外的指数问题。,一、函数的极限与连续第7题,一、函数的极限与连续第8题,一、函数的极限与连续第9、10题,第9、10题分析：重要极限 的应用问题；口诀：前面是一家“1”；内外成倒数，指数趋无穷；方法：根据“口诀”，先解决括号内的加减问题，再解决括号外的指数问题。,一、函数的极限与连续第9题,一、函数的极限与连续第10题,一、函数的极限与连续第11题1,一、函数的极限与连续第11题2,2）,解：1）,3）,一、函数的极限与连续第12题,一、函数的极限与连续第12题,解：1）,2）,3）,一、
5、函数的极限与连续第13题,第13题分析：无穷大量概念：；无穷小量概念：；方法：依次计算各函数的极限，并根据结果得出相应的结论。,一、函数的极限与连续第13题,当 x0时，下列各函数中哪些是无穷大量，哪些是无穷小量？,不存在！,一、函数的极限与连续第13题,结论：是无穷小量，、是无穷大量,一、函数的极限与连续第14题,求下列各函数的连续区间和间断点：,解：,因为,所以连续区间为,无间断点,解：,且,所以连续区间为,和,间断点为,二、函数的导数和微分及其应用第1、2题,第1、2题分析：导数基本公式、基本性质的应用；幂函数的多样性，常数的多样性；注意导数和导函数的区别，不可以一个等号到底。,二、函数
6、的导数和微分及其应用第1题,解：,相关导数公式：,二、函数的导数和微分及其应用第2题,解：,相关导数公式：,二、函数的导数和微分及其应用第3题,解：,相关导数公式：,二、函数的导数和微分及其应用第4题,设,，求,和,解：,相关导数公式：,二、函数的导数和微分及其应用第5题,设,，求,和,解：,相关导数公式：,二、函数的导数和微分及其应用第5题,续：,二、函数的导数和微分及其应用第5题,续：,相关导数公式：,二、函数的导数和微分及其应用第6题,设,，求,和,解：,相关导数公式：,二、函数的导数和微分及其应用第6题,续：,二、函数的导数和微分及其应用第6题,续：,二、函数的导数和微分及其应用第7题
7、,设,，求,和,解：,相关导数公式,二、函数的导数和微分及其应用第8题,设,，求,和,解：,相关导数公式,二、函数的导数和微分及其应用第9题,求由方程 所确定的隐函数 的导数,解：,二、函数的导数和微分及其应用第10题,求由方程 所确定的隐函数 的导数,解：,二、函数的导数和微分及其应用第11题,求曲线 在 处的切线方程。,解：,切点坐标：,即：,切线方程：,即：,导数的几何意义,点斜式,二、函数的导数和微分及其应用第12题,求与直线 平行的曲线的切线方程。,解：,设切点坐标：,切线方程：,即：,导数的几何意义,点斜式,二、函数的导数和微分及其应用第13题,求函数 的单调区间、极值和极值点。,
8、解：,定义域,令,求导数，找驻点和疑点,二、函数的导数和微分及其应用第13题,列表分析,二、函数的导数和微分及其应用第13题,结论,单调递增区间,和,单调递减区间,极大值,极小值,极大值点,极小值点,二、函数的导数和微分及其应用第14题,求函数 的单调区间、极值和极值点。,解：,定义域,令,求导数，找驻点和疑点,二、函数的导数和微分及其应用第14题,列表分析,二、函数的导数和微分及其应用第14题,结论,单调递增区间,和,单调递减区间,极大值,极小值,极大值点,极小值点,和,二、函数的导数和微分及其应用第15题,列表分析,二、函数的导数和微分及其应用第15题,结论,单调递增区间,和,单调递减区间
9、,极大值,极小值,极大值点,极小值点,积分学不定积分和定积分,原函数和不定积分与复习相关的积分公式积分的基本思路定积分的应用,原函数和不定积分,原函数若在某区间上，则称 是 在该区间上的一个原函数。对应复习题三、15.不定积分若在某区间上，是 的一个原函数，则称 是 在该区间上的不定积分。记作：对应复习题三、16.,相关性质,微分与积分的互逆性,复习题三、16,复习题三、15,与复习相关的积分公式,积分公式,导数公式,与复习相关的积分公式,积分公式,导数公式,与复习相关的积分公式,积分公式,导数公式,与复习相关的积分公式,积分公式,积分的基本思路,首先考虑运用积分公式注意幂函数的多样性（负指数
10、、分数指数）、常数的多样性（指数类、对数类、三角函数类等等）以及分式的分拆等 第1题、第2题公式不行，进入换元积分，有两个角度：问题症结在哪里，“头痛医头，脚痛医脚”哪些可以积分，“捡软柿子捏”第3题、第4题、第5题、第6题、第7题、第8题换元积分不行，查看交换积分如何？用分布积分法 u(x)的选取优先考虑对数函数和反三角函数，其次考虑幂函数 第11题、第12题,定积分的应用,定积分的计算原则上与不定积分相同，主要有几个不同之处运用牛顿-莱布尼兹公式是不要加“C”上下限要代入函数进行完整的计算分段函数注意运用积分区间可加性第9题、第10题对称区间先考虑被积函数的奇偶性第13题、第14题,三、不
11、定积分和定积分第1题,相关积分公式：,解：,三、不定积分和定积分第2题,相关积分公式：,解：,三、不定积分和定积分第3题,相关积分公式：,解：,三、不定积分和定积分第4题,相关积分公式：,解：,三、不定积分和定积分第5题,相关积分公式：,解：,三、不定积分和定积分第6题,相关积分公式：,解：,三、不定积分和定积分第7题,相关积分公式：,解：,三、不定积分和定积分第8题,相关积分公式：,解：,三、不定积分和定积分第9题,相关积分公式,解：,三、不定积分和定积分第10题,解：,求,，,三、不定积分和定积分第11题,相关积分公式：,解：,三、不定积分和定积分第12题,相关积分公式：,解：,分部积分中
12、u(x)的选取顺序,对数和反三角函数目的是要消灭对数和反三角函数幂函数 x n目的是降幂为 x n1，最终达到消灭幂函数的目的,三、不定积分和定积分第13题,解：,设,则,所以,是奇函数,所以,三、不定积分和定积分第14题,解：,三、不定积分和定积分第15题,已知 是函数 的一个原函数，求,解：,因为 是函数 的一个原函数,所以,根据不定积分性质,三、不定积分和定积分第15题,已知 是函数 的一个原函数，求,解：,因为 是函数 的一个原函数,所以,所以,三、不定积分和定积分第16题,已知，求,解：,根据不定积分性质,三、不定积分和定积分第17题,求由抛物线 y x 2 2 与直线 x 0，x
13、2，y 0 所围成的平面图形的面积。,解：,画出草图，求出交点,列出积分元素（微元）,列出算式，计算结果,三、不定积分和定积分第18题,求由抛物线 y x 2 2x 2 与直线 x 0，x 2，y 0 所围成的平面图形的面积。,解：,画出草图，求出交点,列出积分元素（微元）,列出算式，计算结果,四、微分方程 第1题,相关积分公式：,解：,求微分方程 的通解,四、微分方程 第2题,相关积分公式：,解：,求微分方程 满足初始条件：，的特解,得,得,四、微分方程 第3题,相关积分公式：,解：,求微分方程 的通解,四、微分方程 第4题,解：,求微分方程 满足初始条件 的特解,四、微分方程 第4题,相关积分公式：,续：,因为,所以,四、微分方程 第4题,续：,所以,
