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1、1.2.3复合函数求导,我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式,导数的运算法则：,法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:,法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:,法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:,思考？如何求函数 的导函数：,一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x).,复合函数的概念
2、,1.复合函数的概念:,二、讲授新课：,12:30:52,指出下列函数是怎样复合而成：,练习1,12:30:52,定理 设函数 y=f(u)，u=(x)均可导，,则复合函数 y=f(x)也可导.,且,或,复合函数的求导法则,即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),注意：1、法则可以推广到两个以上的中间变量；2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.,即,证设变量 x 有增量 x，,由于 u 可导，,相应地变量 u 有增量 u，,从而 y 有增量 y.,例4 求下列函数的导
3、数,解：设则,二、举例,(A)例1 求函数 的导数,解：设,因为,所以,(B)例2 求函数 的导数,因为,所以,则,(A)例3 求函数 的导数,解：设,因为,所以,练习3：设 f(x)=sinx2，求 f(x).,解,练习 求下列函数的导数,(A)1.,解：,(A)2.,解：,(B)3.,解：,(A)例11 求下列函数的导数,综合运用求导法则求导,(B)例12 求下列函数的导数,解：,（1）,【解析】,解：,（2）,练习 求下列函数的导数,复习检测,复习检测,复习检测,复习检测,(C)例13 求下列函数的导数,解：先将已知函数分母有理化，得,（1）,解：因为,所以,解：因为,所以,（2）,（3
4、）,【解析】,练习1:求下列函数的导数:,答案:,例2:设f(x)可导,求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x),解:,三、例题选讲：,复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。,如设 那么对于复合函数，我们有如下求导法则：,(B)例4 求 的导数,解：设,由 得,即,(B)例8 求 的导数,解：,y=sin(x3)2,=2sin(x3)sin(x3),=2sin(x3)cos(x3)(x3),=2sin(x3)cos(x3)3x2,=6x2sin(x3)cos(x3),(B)例9 求 的导数,解：,y=lnsin(4x),=sin(4x),
5、=cos(4x)(4x),=cos(4x),(B)例5 求 的导数。,解：设,由 得,（C）4.,解：,.3,小结：复合函数y=f(x)要先分解成基本初等函数y=g(u),u=h(v),v=i(x)等，再求导：yx=yuuvv x根据函数式结构或变形灵活选择基本初等函数求导公式或复合函数求导方法,作业本：“基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则”,例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.,解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).,对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.,对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.,因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.,所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.,
