高等数学第二章课件.pptx

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1、学习任务与目标,熟练掌握导数的概念、导数的基本运算，会应用导数变化率的描述来理解在学习工程类课程中遇到的概念，能利用导数解决实际问题,掌握隐函数的导数、参数方程的导数的求法，二阶及高阶导数的物理意义，能用其解决工程类问题,理解微分的概念，会用微分作近似计算与估计,第一节：导数的概念,两个引例,导数的概念,利用导数的定义求导数,导数的几何意义,函数的可导性与连续性的关系,2.1.1 两个引例,设物体作变速直线运动，位移 关于时间 的运动方程为，试求物体在 时刻的瞬时速度,引例1 变速直线运动的瞬时速度,解 设物体从 点开始运动，经过时间 到达点，所经过的路程，即，当时间 由 变到 时，物体由点

2、变到点，物体在 这段时间内所经过的距离，物体在 这段时间内所走过的路程为 在 这段时间内的平均速度为,显然在 这段时间内的平均速度不能确切描述在 时刻的速度，但是 越小时，平均速度 就越接近时刻 的速度，当 时，平均速度 的极限值就是物体在时刻 的瞬时速度，即 平均速度，称为路程 在 到 时间段内的平均变化率；而瞬时速度，称为路程 在时间 时刻的瞬时变化率,引例2 曲线的切线斜率,设函数 在点 处连续，曲线 在点 处有切线且斜率存在，求曲线 在点 处的切线斜率，如图所示,解 在曲线上另取一点，设其坐标为 先求取割线斜率，设割线 的倾角为，切线 的倾角为，则割线 的斜率为 显然当 时，即点 沿着

3、曲线趋近于定点 时，割线 趋近于极限位置（即切线）于是得到切线 的斜率为,2.1.2 导数的概念,定义1 设函数 在点 及其左右近旁有定义，给自变量 在点 处一个增量，相应地会有函数增量当 时，若 的极限存在，则称此极限值为 在点 处的导数，并称函数 在点 处可导，记作，即 也可记为，或,1.导数的定义,注：1）若式（2-1）的极限存在，则称函数 在点 处可导；若极限不存在，则称函数 在点 处不可导（或导数不存在）2）导数的定义式（2-1）还可以有下列两种形式：（1）令，得；（2）令，得,2.区间可导和导函数,定义2 如果函数 在区间 内每一点都可导，则称 在区间 内可导即对，都有导数值 与之

4、对应，而 是关于 的函数，则称 为函数 的导函数，简称导数，即 也可记作，表示 在任意点 处的导数注：是 的函数，而 是一个常数，是导函数 在 处的函数值,2.1.3 利用导数的定义求导数,由导数的定义可知，求函数 的导数 可按以下三个步骤进行：（1）求函数增量：；（2）计算比值：；（3）求极限：,例2 求函数 的导数,例1 求函数（为常数）的导数,解 因为 为常数，所以，即,解（1）求函数增量：；（2）计算比值：；（3）求极限：可得幂函数的导数公式：（为任意实数）,例3 求函数 的导数,解 即 用同样的方法可以求出以上两个公式是正弦函数、余弦函数的导数公式,例4 求函数（，）的导数,解当 时

5、，与 是等价无穷小可得指数函数的导数公式：特别地，当 时，有,解 得对数函数的导数公式：特别地，当 时，有,例5 求（，）的导数,注：求函数在某点处的导数时，一般先求出已给函数的导函数，然后再求导函数在该点处的函数值,2.1.4 导数的几何意义,由引例2及导数的定义可知：函数 在点 处的导数 在几何上表示曲线，以点 为切点的切线斜率，即 示 由直线的点斜式方程可以得到：（1）曲线 在点 处的切线方程为：（2）曲线 在点 处的法线方程为：,例7 求曲线 在点 处的切线方程和法线方程,解 因为，于是曲线 在点 处的切线斜率为从而，所求的切线方程为即 所求法线的斜率为，所求的法线方程为 即,例8 求

6、曲线 上一点，使得过该点的切线与直线 平行,解 设曲线 上点 处的切线与直线 平行，曲线 在 处的切线斜率为 而直线 的斜率为，根据两条直线平行的条件，有，即 将 代入曲线，得所以，曲线 在点 处的切线与直线 平行,4.1.5 函数的可导性与连续性的关系,定理1 如果函数 在点 处可导，则函数 一定在点 处连续,例1 证明函数 在 处连续，但在 处不可导,证（1）因为函数 是基本初等函数，定义域为，由基本初等函数在其定义域内每一点都连续的定理可知，函数 在 处连续（2）因为，显然，当 时，导数不存在,第二节：函数和、差、积、商的求导法则,函数和、差、积、商的求导法则,求导举例,2.2.1 函数

7、和、差、积、商的求导法则,法则1 两个函数代数和的导数，等于各个函数导数的代数和，即,可以推广到有限个函数的代数和的情形，即,如果函数，在点 处可导，且，则这两个函数的和、差、积、商在点 处也可导，且有,法则2 两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即,法则3 两个函数商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，然后除以分母的平方，即,推论（为常数）,推广到有限个函数的代数和的情形，即,2.2.2 求导举例,例2 设函数，求,解，即，这是正切函数的导数公式,例3 设函数，求,解 即，这是正割函数的导数公式余切函数和余割函数的导数公式

8、，即,例4 设函数，求,解,例5 求下列函数在给定点处的导数：（1），（2），,第三节：复合函数的求导法则,反函数的求导,复合函数的求导法则,2.3.1 反函数的导数,反函数的求导法则 若单调函数 在 内可导，且，其反函数 在对应区间内也可导，且、或,例1 求反正弦函数 的导数,解（）是（）的反函数，而 在 内单调增加、可导，且 所以 在 内的导数为 在 内，于是有，,例2 求反正切函数 的导数（解略，请仿照例1试求）,类似可得，以上两个公式是反正弦函数、反余弦函数的导数公式,解,2.3.2 复合函数的求导法则,复合函数的求导法则 设 在点 处可导，函数 在对应点 处可导，则复合函数 在 处也

9、可导，并且 或 或记为,本法则可推广到有限次复合的情形，如，则复合函数 的导数为,例3 设函数，求,解 是由，复合而成的，因此,例4 设函数，求,解 是由，复合而成的，因此,例5 设函数，求,解 是由，复合而成的，因此,例6 设函数，求,解 是由，复合而成的，因此,例7 设函数，求,解 是由，复合而成的，因此,例8 设函数，求,解 是由，复合而成的，因此,例9 设函数，求,例10 设函数，求,解 是由，复合而成的，因,所以,解 是由，复合而成的，因，所以,例11 设函数，求,例12 设函数，求,解,解,例13 设函数，求,例14 设函数，求,解 将分母有理化，得，故,解 因为，所以,例15 设

10、函数，求,例16 设函数，求,解,解 因为，所以,例17 设函数，求,解,第四节：初等函数的求导问题、高阶导数,初等函数的求导问题,高阶导数,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,（9）,（10）,2.4.1 初等函数的求导问题,1.导数的基本公式,（11）,（12）,（13）,（14）,（15）,（16）,（1）,（2）,（3）,（4）,2.导数的四则运算法则,设，且 和 都可导，则复合函数 的导数为 或,3.复合函数的求导法则,2.4.2 高阶导数,若函数 的导数 仍是 的可导函数，则 的导数叫做函数 的二阶导数，记作，或 类似地，二阶导数 的导数叫做函数 的三阶

11、导数，记为；三阶导数的导数叫做函数 的四阶导数，记为，阶导数 的导数叫做函数 的 阶导数，记作，或,1.高阶导数的概念,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数相应地，函数 的导数 叫做函数 的一阶导数,2.高阶导数的计算,例1 设函数，求,解,例2 设函数，求,解,例3 设函数，求,例4 设函数，求,解,解,例5 设函数，求,例6 设函数，求,3.二阶导数的力学意义,若物体作变速直线运动，其运动方程为，则物体运动的速度为路程 对时间 的导数，即 此时，若速度 仍是时间 的函数，则速度 对时间 的导数为 在力学中把它叫做运动物体在时刻 的加速度，记作 即由以上讨论得出二阶导数的力学意义：作变速直线运

12、动的物体的加速度 是路程 对时间 的二阶导数,例7 设一物体的运动方程为，求物体在 时刻的速度和加速度,解 物体在任意时刻 的速度和加速度分别为 所以,第五节：隐函数的导数和由方程确定的函数的导数,隐函数的导数,参数方程所确定的函数的导数,对数求导法,2.5.1 隐函数的导数,函数与自变量 的关系是用 来表示的，我们称 为显函数由含 和 的方程 所确定的函数关系，称为隐函数,求隐函数的导数 的方法：,（1）方程 的两边同时对自变量 求导；（2）遇到只含 的项直接求导；（3）遇到含 的项时，因为 是 的函数，的函数则是 的复合函数，所以利用导数基本公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则等对

13、含 函数求导，再乘以，即 对 的导数；（4）解出，即为所求隐函数的导数,例1 求隐函数 的导数,解 方程两边同时对 求导，得 解出，得,例2 求椭圆 在点 处的切线方程和法线方程,解 将方程两边同时对 求导，得由导数的几何意义可知，椭圆 在点 处的切线斜率和法线斜率分别为切线方程为法线方程为,2.5.2 由参数方程所确定的函数的导数,计算由参数方程（）所确定的函数 关于 的导数，在应用类问题中会经常遇到，如何计算参数方程的导数 呢？我们根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，将 视为中间变量，得到参数方程的求导法则：,解 因为 所以,例3 求由椭圆 所确定的函数 的导数,例4 求摆线 在 时

14、曲线上的点的切线方程,解 当 时，摆线上的点为 斜率为 点 处的斜率为 故摆线在点 处的切线方程为即,2.5.3 对数求导法,形如（）的函数叫做幂指函数，其中，是可导函数当要求导的函数是幂指函数或乘法、除法、幂运算多的复杂函数时，可以考虑用对数求导法，具体步骤为：（1）对等式两边同时取以 为底的对数，并化简；（2）利用隐函数求导法则求其导数,例5 求（）的导数,解（1）；（2）根据隐函数求导法则，两边同时对 求导，得,例6 求函数 的导数,解（1）将等式两边取自然对数得（2）根据隐函数求导法则，两边同时对 求导，得,第六节：函数的微分及应用,微分的概念,微分的几何意义,微分的运算,微分在近似计

15、算中的应用,2.6.1 微分的概念,定义1 如果函数 在点 具有导数，则称 为 在点 的微分，记作，即 通常把自变量的增量 称为自变量的微分，记作，即 则函数 在点 处的微分可写成 当函数 在点 处有微分时，称函数 在点 处可微,一般地，函数 在区间 内任意点 的微分称为函数的微分，记作，即 由，得 由此可见，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数因此，导数也称微商,2.6.2 微分的几何意义,如图所示，点 和 是曲线 上邻近的两点 为曲线在点 处的切线，其倾斜角为 容易得到，这就是说函数 在点 处的微分，在几何上表示曲线 在点 处切线 的纵坐标的增量,在图中，表示 与 之差，当 很小时

16、，与 相比是微不足道的，因此，可用 近似代替 这就是说，当 很小时，有,2.6.3 微分的运算,1.微分的基本公式,2.函数的和、差、积、商的微分法则,设，都是 的可微函数，为常数，则（1）（2）（3）（4）（）这里给出乘积的微分法则的证明根据微分的定义，有,3.微分形式的不变性,由微分的定义知，当 是自变量时，函数 的微分是如果 不是自变量，而是 的可微函数，那么对于复合函数，根据微分的定义和复合函数的求导法则，有 其中，所以上式仍可写成由此可见，不论 是自变量还是中间变量，函数 的微分总是同一个形式：，此性质称为微分形式的不变性,例1 设函数，求,解 方法1：直接应用微分公式 计算，则有

17、方法2：把 看成中间变量，则有,例2 求函数 的微分,解,例3 设函数 的微分,解 方法1：方法2：,例4 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立（1）d（）；（2）d（）；（3）d（）；（4）d（）,解（1）因为，所以（2）因为，所以（3）因为，所以（4）因为，所以（为任意常数）,2.6.4 微分在近似计算中的应用,函数微分是函数增量的线性主部，这就是说，当 很小时，函数的增量可用其微分来近似代替，即,当 很小时，可得：,1.计算函数增量的近似值,例5 半径为10 cm的金属圆片加热后，半径伸长了0.05 cm，问圆片面积改变了多少？,解 设圆片的半径为，则圆片的面积为，于是由题意知，根据式（2-5），得,例6 计算 的近似值,2.计算函数值的近似值,解 设，则 因为，即，由式（2-6）得,当 很小时，由式（2-5）可得：在上面公式中，令，（当 很小时），可得,证 设，则，于是，由式（2-7）得 即,例7 证明当 较小时，,利用式（2-7）可计算函数 在 点附近的近似值，同时由它可以推出常用的近似公式，即当 较小时，有,例8 计算 的近似值,解,例9 计算 的近似值,例10 计算 的近似值,解 利用公式，得,解 利用公式，得,