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1、物系平衡,注意固定端的约束力(3个)和单铰受荷载及复铰链的约束力！,第二篇 运动学,以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置的方法叫自然法。,一、弧坐标,自然轴系,1、弧坐标,设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即 s=f(t),二、点的速度,三、点的加速度,式中v 称为速度矢量在切线上的投影。,切向加速度 _ 表示速度大小的变化,法向加速度 _表示速度方向的变化,
2、第六章 刚体的简单运动,例,刚体的运动,得出结论:即,二、刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状，速度和加速度都一样。即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。,一、刚体定轴转动 定轴转动:刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动。通过两点的直线称为转轴,不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。,二、转角和转动方程 _转角,单位弧度(rad)=f(t)_ 为转动方程 方向规定:从z 轴正向看去,三、定轴转动的角速度和角加速度,2、角加速度 设当t 时刻为,t+t 时刻为+,如果w与a同号，则转动是加速的；如果w与a异号，则转动是减速的。,w与a同号,转动加速,w与a异
3、号,转动减速,3、匀速转动和匀变速转动当=常数，为匀速转动；当a=常数，为匀变速转动。,机器中的转动部件或零件，一般都在匀速转动情况下工作。转动的快慢用转速n表示，其单位为转/分(r/min=rpm)。,则n与w的关系为:,刚体定轴转动时，不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在轴线O上，半径R等于点到转轴的距离。,设刚体以w从定平面A绕定轴转动到B处；转角j。,定轴转动刚体上任一点做圆周运动,刚体上一点从MO转到M，取MO为弧坐标原点。,方向:沿圆周的切线,指向与转动方向一致,速度:,(+),点的弧坐标:,一、角速度w与v 的关系,即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度
4、与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。,二、角加速度a 与an，at的关系,设角加速度如图所示,切向加速度,即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当a是正值时，它沿圆周的切线，指向角j的正向；否则相反。,法向加速度:,即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。,如果w与a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同；如果w与a异号，刚体作
5、减速转动，at与v的指向相反。这两种情况如图所示。,(1)在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。(2)在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角q 都有相同的值。,点的全加速度为：（一般情况下不合成）,例试画出图中刚体上M，N两点在图示位置时的速度和加速度。,第七章 点的合成运动,研究点和刚体的运动,动 点,定 系,动 系,绝对运动,相对运动,绝对速度 绝对加速度,相对速度 相对加速度,牵连运动,刚体运动,动 点,动 系,设想该瞬时将该动点固结在动系上，而随着动系一起运动所具有的速度和加速度。即受动参考系这个刚体的拖带或牵连而产生的速度
6、和加速。,牵连点是动系上的点，不同瞬时牵连点不同！,动点：AB杆上A点,动系：固结于凸轮上,定系：固结在地面上,凸轮顶杆机构,绝对运动：铅直运动,相对运动：曲线(圆弧)运动,牵连运动：凸轮直线平移,绝对加速度：相对加速度：牵连加速度：,动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮,绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动,绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动,圆轮摇杆机构,动点：A（在圆盘上)动系：OA摆杆定系：机架,摇杆滑道机构,绝对运动：点A的水平直线运动；相对运动：点A沿OB轴线的运动；牵连运动：OB杆的定轴转动。,动点：销子A(CD上);动系：固结于OB。,曲柄滑
7、块机构,动点：O1A上A点;动系：固结于BCD上。,绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动;牵连运动：BCD平移,动点：BCD上的套筒F点;动系：固结于O2E上。,绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。,刨床机构,相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。,相对轨迹不清楚，无法确定相对速度和相对加速度的方位。,相对轨迹清楚，可以确定相对速度和相对加速度的方位。,说明：va动点的绝对速度；vr动点的相对速度；ve动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度动系作平移时，动系上各点速度都相等;动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。,即在任一瞬时
8、动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。,点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小，方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。,二、应用举例,解：选取动点:物块A，动系:小车相对运动:铅直直线;相对速度vr=v2 牵连运动:平移;牵连速度ve=v1 绝对运动:曲线，轨迹未知;绝对速度va 的大小、方向待求。,作出速度平四边形如图示，则物块的速度大小和方向为,由速度合成定理：,q,由速度合成定理 va=ve+vr，作出速度平行四边形 如图示。,解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘。绝对速度 va=?待求，方向/AB 相对速度 vr=?未知，方向CA 牵连
9、速度 ve=OA=2e，方向 OA,解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系。绝对速度 va=r，方向 OA相对速度 vr=?，方向/O1B牵连速度 ve=?，方向O1B,由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：选取动点，动系和定系（工程问题选地面不作说明）；三种运动的分析；三种速度的分析；根据速度合成定理 作出速度平行四边形。根据速度平行四边形，求出未知量。,恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。,动点、动系的选择原则动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。（已知绝
10、对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）,解：以小环M为动点，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。,由图可得：,解：取套筒A为动点，动系与OC固连，分析A点速度，有,分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。可以发现，凸轮上C的轨迹是直线，若选OA为动系，其相对轨迹也容易确定是直线。,解:取凸轮上C点为动点,动系固结于OA杆上。,解 取M为动点，AB为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。,取M为动点，CD为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。,由上面两式可得：,其中,
11、将等式两边同时向铅直轴投影,则动点M的绝对速度为：,由于牵连运动为平移，故由速度合成定理,对t求导,牵连运动为平移时点的加速度合成定理,即当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。,一般式可写为：,(其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平移，故它们的方向不变，是常矢量，所以),解1 用运动方程求解。因推杆作平移，其上各点的速度和加速度都相同，现取推杆上与凸轮的接触点M分析：,解2 取圆盘的中心C为动点，动系与平底推杆AB固连。分析动点的速度和加速度如图所示。,可求得：,向y轴投影：,A,解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。,绝对速度va=?，方向/AB；绝对加
12、速度aa=?，方向/AB相对速度vr=?，方向AC；相对加速度art=?方向AC arn=vr2/R，方向沿AC指向C牵连速度ve=v0，方向水平；牵连加速度 ae=a0，方向水平,由速度合成定理,作出速度平行四边形，如图示。,因牵连运动为平移，故有,其中,作加速度矢量图如图示。,整理得,将矢量方程 投影到x轴上，得,3个矢量组成的方程，通常用几何法求解！例如3个力平衡，画力三角形求解，速度合成定理3个矢量，用三角形求解！3个以上的矢量组成的方程，通常用解析法求解，即采用投影的方法求解。,左边矢量在某轴上的投影=右边矢量在同一轴上的投影,解：动点：A点(OA杆)，动系：BC杆,由几何关系得,根
13、据牵连运动为平移的加速度合成定理,在铅直轴上投影得,上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。,牵连运动为定轴转动，其牵连速度和加速度为,（方向如图）,由速度合成定理可得,选点M为动点，动系固结与圆盘上，则M点的相对运动为匀速圆周转动，,即绝对运动也为半径为R的匀速圆周运动，所以,方向指向圆心点,（方向如图）,分析上式：还多出一项2vr。可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度aa 并不等于牵连加速度ae 和相对加速度ar 的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？2vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？下
14、面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。,点的加速度合成定理：动系转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。,令,称为科氏加速度，于是有,法国科里奥利。1792-1843,牵连运动为转动时，加速度合成定理为,一般式,一般情况下科氏加速度 的计算可以用矢积表示,点M2 的科氏加速度,解:动点：顶杆上A点；动系：凸轮,由牵连运动为转动时的加速度合成定理,方向垂直n,绝对加速度,将方程 向 n 轴投影：,得,解：选取滑块A作为研究的动点，把动系固定在摇杆O1B上。作速度矢图。,由于动参考系作转动，因此加速度合成定理为：,假设a1
15、的转向为顺时针转向。,可以不算,为了求得aet，应将加速度合成定理向轴h投影：,即：,得：,解：速度分析1）取套筒A为动点，动系与摇杆O2B固连。,由速度合成定理作速度矢图可得：,2）取套筒B为动点，动系与滑枕CD固连。,由速度合成定理作速度矢图可得：,滑枕CD的速度为,加速度分析,由A点的加速度合成定理有,在x轴上投影得,于是,O2B杆的角加速度为,由B点的加速度合成定理有,将各加速度向水平方向投影得：,滑枕CD的加速度为,一、概念及公式 1、一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动 与牵连运动的合成 2、速度合成定理 3、加速度合成定理 牵连运动为平移时 牵连运动为转动时,注意加速度
16、切向和法向分量,二、解题步骤1、选择动点、动系和定系。2、分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3、作速度分析，画出速度平行四边形，求出有关未知量(速度，角速度）。4、作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加 速度、角加速度未知量。,三、解题技巧1、恰当地选择动点和动系,应满足选择原则，具体地有：两个不相关的动点，求二者的相对速度。根据题意，选择其中之一为动点，动系为固结于另一 点的坐标系。运动刚体上有一动点，点作复杂运动。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。机构传动，传动特点是在一个刚体上存在一个不变的 接触点，相对于另一个刚体运动。例如导杆滑块机构，取滑块为动点，动系固结于导杆。
17、凸轮挺杆机构，取杆上与凸轮接触点为动点，动系固结与凸轮。摇杆滑道机构，取滑道中的点为动点，摇杆为动系等。,特殊问题，特点是相接触两个物体的接触点位置都随时 间而变化，此时，这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。,2、速度问题，一般采用几何法求解简便，即作出速度平行 四边形求解，超过三个矢量，必须采用解析法求解；3、加速度问题，往往超过三个矢量，一般采用解析（投影）法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定，大多在 相对轨迹的法向投影。,四、注意问题 1、牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。2、牵连为转动时加速度分析不要丢掉，正确分析和计算。3、加速度矢量
18、方程的投影是等式两端的投影，特别要注意与 静力平衡方程的投影式不同。4、圆周运动时，非圆周运动时，（r 为曲率半径）,小车的速度：,根据速度合成定理 作出速度平行四边形,如图示,小车的加速度：,解：动点:销子D(BC上);动系:固结于OA。绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，沿OA 线牵连运动：定轴转动，,例已知摇杆滑道机构h，q，v，a。求:OA杆的，a。,投至 轴：,解：动点：O1A上A点；动系：固结于BCD上。绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动;牵连运动：平移;，水平方向,例已知曲柄滑块机构O1A=r,w1,q,h。图时瞬时O1A/O2E。求 该瞬时O2E杆的w2。,根据 作出速
19、度平行四边形,再选动点：BCD上F点动系：固结于O2E上，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动，,根据作出速度平行四边形,解：取滑块A为动点，动系与滑道BCD固连。作速度平行四边形。,求得曲柄OA转动的角速度为,由速度合成定理,由加速度合成定理得,将加速度向h轴上投影有：,速度图在原图上画，加速度图在边上画，保持方向一致。,解:取凸轮上C点为动点，动系固结于OA杆上。绝对运动:直线运动；相对运动:直线运动；牵连运动:定轴转动。,分析:由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。,例 凸轮机构已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上；已知:q，v
20、，a。求该瞬时OA杆的角速度和角加速度。,方向,投至 轴：,转向由上式符号决定，a 0则逆时针，a 0 则顺时针。,例 刨床机构已知:主动轮O转速 n=30 r/minOA=150mm，图示瞬时，OAOO1求O1D杆的角速度 1和角加速度a1 及滑块B的速度和加速度。,其中,解：动点：轮O上A点，动系：O1D。,投至方向：,再选动点：滑块B；动系：O1D。,其中,解：动点:小环M，动系:固结在曲杆OBC上绕O轴转动。绝对运动：小环M沿OA杆的直线运动；相对运动：小环M沿着BC的直线运动，牵连运动：曲杆绕O轴的转动。,由三角关系求得小环的绝对速度为：,作速度矢量图,因为,作小环M的加速度矢量如图所示：,由加速度合成定理，,计算已知量,向h方向投影,有:,解得,本章结束,
