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1、1,第四节 镜象法求解静电场,2,目的：学习一种求解静电场的 特殊方法-镜象法（简洁明了）,主要内容：一、相关内容回顾 二、镜象法的基本思想 三、镜象法应用举例 四、总结与讨论,3,唯一性定理给出静电场可以唯一求解的条件,唯一性定理：在可均匀分区的区域V内给定自由电荷分布，区域V内的电场由V的边界S上的电势或者电势法向导数唯一地确定。,一、相关内容回顾,4,如果V内含有导体区域，将导体表面视为边界面。如果不是给定导体边界上的电势或者电势法向导数，而是给定每个导体上的总电荷，唯一性定理同样成立。这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。,5,分离变量法：适用于所考虑的区域内没有自由电荷分布的情况，求
2、解拉普拉斯方程。,分离变量法（）镜象法（？）格林函数法（？）多极矩展开法（？）,静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松方程的解。主要方法有四种。,6,一种重要的特殊情形是：区域内只有一个或者几个点电荷。区域的边界是导体或者介质。这一个或者几个电荷要在导体界面产生感应电荷，或者在介质表面产生束缚。,二、镜象法求解静电场的基本思想,7,上述特殊情形的泊松方程边值问题，可以采用一种比较简洁的特殊方法来求解。这种方法就是镜象法。,镜象法的基本思想就是：在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，但不改变求解区域的边值关系和边界条件。,或者说，只要不改变求解区域的电荷分布、边值关系和边界条件，象电荷可以取
3、代感应电荷，象电荷在所考虑区域产生的电场就是感应电荷产生的电场。,8,三、镜象法应用举例,例1 接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求空间中的电场。,9,解,电荷：一个点电荷界面：接地无穷大导体区域：上半空间（下半空间电势为零）,已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。,10,上半空间的电势的特征：导体表面是等势面电场线垂直于导体表面,点电荷Q使导体表面产生异号的感应电荷Q。整个电场是由Q和Q共同产生的。,电荷分布和电场分布：,11,设想在导体板下方与电荷Q对称的位置上放一个假想电荷Q=Q，然后把导体板抽去。这样，没有改变所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）。,
4、Q,假想电荷Q与给定电荷Q激发的总电场如图所示。由对称性看出，在原导体板平面上，电场线处处与它正交，因而满足边界条件。,12,导体板上部空间的电场可以看作原电荷与镜象电荷共同激发的电场。场点P的电势,导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q代替。,13,选Q到导体板上的投影点O作为坐标原点，设Q到导体板距离为a，有,可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解泊松方程的简洁方法。,14,例2 真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为a（aR0）处有一点电荷Q，求空间各点的电势（如图）。,15,解,电荷：一个点电荷界面：导体球面区域：球面外区域,已知界面电势为零，满足唯一性定理的要
5、求，可以确定电势。,16,点电荷Q使导体表面产生异号的感应电荷Q。,电荷分布和电场分布：,整个电场是由Q和Q共同产生的。,17,在球内区域（所考虑区域之外）引入象电荷，取代球面上的感应电荷，不改变体系方程。,球面外区域电势的特征：导体表面是等势面电场线垂直于导体表面预计电场线如图所示,18,不改变边值关系和边界条件的要求为由对称性，Q应在OQ连线上。,考虑球面上任一点P（如图）,19,因此对球面上任一点，应有,只要选Q的位置使 OPQOQP，,则,20,假想电荷Q的大小为,由两三角形相似的条件可得假想电荷Q的位置,21,球外任一点P（如图）的电势为,22,根据高斯定理，收敛于球面的电通量为Q。
6、Q为球面的总感应电荷，它是受电荷Q的电场的吸引而从接地处传至导体球上的。,物理结果讨论：,然而|Q|Q，由电荷Q发出的电场线只有一部分收敛于球面上，剩下的一部分发散至无穷远处。,23,例3 如上例，但导体球不接地而带电荷Q0，求球外电势，并求电荷Q所受的力。,24,这里给出的条件为：（1）球面为等势面（电势待定）；（2）从球面发出的总电通量为Q0。,在球内放置与上例相同的假想电荷Q（电势为零），在球心处再放一个假想电荷Q0Q（球面等势），就可同时满足上面两个条件。,解,25,球外任一点P的电势为,因此电荷Q所受的力等于Q和球心处的电荷Q0Q对它的作用力F，,26,过渡到点电荷相互作用模型,吸引
7、力，趋于消失,R0 0,物理结果讨论：,27,aR0,即使Q和Q0同号，只要Q距球面足够近，就受到导体的吸引力。,原因：虽然整个导体的电荷与Q同号，但在靠近Q的球面部分出现异号电荷。从而相互吸引起主要作用。,吸引力起主要作用（数值大于第一项）,28,根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松方程边值问题；在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，保持求解区域电荷分布不变；引入镜象电荷，不改变求解区域边值关系和边界条件。,1、镜象法的基本要领,四、总结与讨论,29,两种方法都是根据边值关系和边界条件进行求解；可解的条件都是唯一性定理所要求的分区均匀介质和边界条件。,2、与分离变量法比较,共同点：,30,不同点：,31,从前两节的例子可以看出，边值关系和边界条件对于求解电场问题具有重要性作用。边界条件大致有一下几种类型：,1、两绝缘介质界面上，边值关系为,2、给出导体上的电势，导体面上的边界条件为,3、边界条件总结,3、给出导体所带总电荷Q，在导体面上的边界条件为,32,应用上述边界条件可以唯一地求出静电场。应用导体的另一边界条件，可以得出导体表面的自由电荷密度。,
