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1、第二章 函数,1函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(4)理解函数的单调性、最大(小)值以及几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质,2指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景(2)理解有理数指数幂的含义，了解实数幂的意义，掌握幂的运算(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点(4)知道指数函数是一类重要的函数模型,3对数函数(1)理解对数函数的概念以及运
2、算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用(2)理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点(3)知道对数函数是一类重要的函数模型(4)了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，a1),4幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数yx，yx2，yx3，y，yx 的图象，了解它们的变化情况5函数与方程(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解,6函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指
3、数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,第4讲函数的概念、解析式及定义域,【学习目标】1了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域；2在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3了解简单的分段函数，并能简单应用,【基础检测】1已知f(x)e(xR)，则f(e2)()Ae2 Be C.D不能确定,B,C,B,【解析】当a0时，有a24，a2，当a0时，有a4，a4，a2或4，选B.,4给定kN*，设函数f：N*N*满足：对任意的大于k的正
4、整数n：f(n)nk，设k1，则其中一个函数f在n1处的函数值为,a(a为正整数),【知识要点】1函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应，那么称f：AB为从集合A到集合B的一个，记作：.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y的值叫做函数值函数值的集合f(x)|xA叫做函数的，f(x)|xAB.,2映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 的元素和它对应，那么这样的(包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射，记
5、作：“”,3函数的特点函数是一种特殊的映射，它是由一个 到另一个 的映射；函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的；关键是.,4函数的表示法函数的表示法：、.5判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的 完全相同(当值域未指明时),定义域和对应法则,6分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫.注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式,分段函数,一、映射与函数的概念例1已知映射f：AB，其中ABR，对应法则f：xyx22x，对于实数kB在集合A中存在两个不同的元素与它对应，则k的取值范围是,k(，1
6、),【解析】yx22x，y(，1由二次函数图象可知：当k1时，直线yk与yx22x无交点故应填k(，1),【点评】对于映射f：AB的理解要抓住以下三点：(1)集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体，是一个系统；(2)对应法则f具有方向性，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系是不同的；(3)对于A中的任意元素a，在B中有唯一元素b与之相对应其要害在“任意”、“唯一”两词上集合B中的元素可以没有原象,A,(2)函数定义域的意义是使函数恒有意义的自变量的取值范围,【点评】根据已知条件求函数的解析式常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值法、解方程组法等(1)当所求函数的解析式的形式已
7、知(如二次函数、指数函数等)常用待定系数法(2)已知fg(x)的表达式，求f(x)的表达式，常用配方法或换元法(3)由简单的函数方程求函数的表达式，常用赋值法及解方程组法,(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本),【点评】分段函数问题一般分段求解，其定义域和值域是各段的并集,备选题例5已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)x2x)f(x)x2x.(1)若f(2)3，求f(1)；又若f(0)a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)x0，求函数f(
8、x)的解析表达式,【解析】(1)因为对任意xR，有f(f(x)x2x)f(x)x2x，所以f(f(2)222)f(2)222.又由f(2)3，得f(3222)3222，即f(1)1.若f(0)a，则f(a020)a020，即f(a)a.,(2)因为对任意xR，有f(f(x)x2x)f(x)x2x.又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)x0.所以对任意xR，有f(x)x2xx0.在上式中令xx0，有f(x0)xx0 x0，又因为f(x0)x0，所以x0 x0，故x00或x01.若x00，则f(x)x2x0，即f(x)x2x.,但方程x2xx有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x00.若x01，
9、则有f(x)x2x1，即f(x)x2x1.易验证该函数满足题设条件综上，所求函数为f(x)x2x1(xR),【点评】本题是一道函数综合题，主要考查函数与方程的思想及解析式的求法的应用,2与分段函数有关的问题，最重要的就是逻辑划分思想，即将问题分段解决3解决抽象函数问题，通常的方法是赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法,D,【命题立意】(1)本题考查分段函数的简单应用，考查学生运用函数知识分析问题，解决问题的能力，属容易题(2)本题考查分段函数的求值，解方程等基本知识，考查学生分类讨论思想的应用，难度较大,C,B,【解析】当f(x)0时，g(x)有意
10、义由函数图象知x(2,8,A,【解析】f(4)16，ff(4)f(16)15，故选A.,D,【解析】当x00时，f(x0)2x013，2x0422，x02，故x02.当x00时，f(x0)x3恒成立x09.综上所知x02或x09，应选D.,5设函数f：N*N*满足：对于任意大于4的正整数n：f(n)n4，且当n4时2f(n)3，则不同的函数f的个数为.,16,【解析】当n1,2,3,4时，由于函数值满足f(n)2,3，故f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的取值各有两种可能，即222216.有16个这样不同的函数,7(2011福建)设V是全体平面向量构成的集合若映射f：VR满足：对任意向量a
11、(x1，y1)V，b(x2，y2)V，以及任意R，均有f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，则称映射f具有性质P.现给出如下映射：f1：VR，f1(m)xy，m(x，y)V；f2：VR，f2(m)x2y，m(x，y)V；f3：VR，f3(m)xy1，m(x，y)V.其中，具有性质P的映射的序号为(写出所有具有性质P的映射的序号),【解析】a(x1，y1)，b(x2，y2)，R.a(1)b(x1(1)x2，y1(1)y2)，对映射的序号：若f1(m)xy，则f1(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y2(x1y1)(1)(x2y2)f1(a)(1)f1(b)故映射的序号具有性质P.同理：序号具
12、有性质P，序号不具有性质P.故填.,8求下列函数的解析式：(1)已知二次函数满足f(3x1)9x26x5，求f(x)；(2)已知2f(x)f(x)3x2，求f(x)；(3)设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)1，且对任意实数a，b有f(ab)f(a)b(2ab1)，求f(x),【解析】(1)解法一：利用待定系数法：设f(x)ax2bxc(a0)则f(3x1)a(3x1)2b(3x1)c9ax2(6a3b)xabc，又f(3x1)9x26x5，9ax2(6a3b)xabc9x26x5，比较两端的系数得，,(3)可用赋值法求解令abx，得f(0)f(x)x(2xx1)，f(0)1，f(x)x2x1.,9甲、乙两车同时沿着某公路从A地驶往300km外的B地，甲车先以75km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2h后，再以100km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度vkm/h行驶(1)请将甲车离开A地的路程S(km)表示为离开A地时间t(h)的函数，并画出其函数图象；(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A、B两地)，试确定乙车的行驶速度v的取值范围,【分析】甲车行驶分段进行可知是分段函数问题，而甲、乙两车在中途相遇即两车行驶对应的函数图象有两个交点，利用数形结合可得“v”的取值范围,
