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1、第二篇 动态电路的时域分析,第五章 电容元件与电感元件第六章 一阶电路第七章 二阶电路,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,无论是电阻电路还是动态电路，电路中各支路电流和电压仍然满足KCL和KVL，与电阻电路的差别仅仅是动态元件的电流与电压约束关系是导数与积分关系(见第五章)。因此，根据KCL、KVL和元件的VAR所建立的动态电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分积分方程。如果电路中的无源元件都是线性时不变的，
2、那么，动态电路方程是线性常系数微分方程。,如果电路中只有一个动态元件，相应的电路称为一阶电路，而所得到的方程则是一阶微分方程。一般而言，如果电路中含有n个独立的动态元件，那么，描述该电路的就是n阶微分方程，相应的电路也称为n阶电路。,一阶电路的定义：,分解方法在这里的运用：,首先，将一阶电路分为电阻网络 N1 和动态元件N2两部分。其次，将 N1 用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得简单一阶电路。第三，求解简单一阶电路，得到 uc(t)或 iL(t)。最后，回到原电路，将电容用一电压源（其值为 uc(t)）置换，或将电感用一电流源（其值为 iL(t)）置换，再求出电路中其余变量。,根据图(b)，
3、由KVL可得：而由元件的VCR可得：第二式带入第一式并整理可得：,类似地，根据图(c)，由KCL和元件的VCR可得：如果给定初始条件uC(t0)以及tt0时的uOC(t)或iSC(t)，便可由上述两式解得tt0时的uC(t)。而对含电感L的一阶电路，同样可以得到：,如果给定初始条件iL(t0)以及tt0时的iSC(t)或uOC(t)，同样可解得tt0时的iL(t)。因此，从分解方法观点看，处理一阶电路最关键的步骤是先求得uC(t)或iL(t)。,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6
4、.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,再看如图所示电路。如果电容具有初始电压uC(t0)，则在tt0时，这种电路相当于有两个独立电压源。因此，根据叠加原理，该电路中任一电压、电流(当然也包括电容的电压)是两个电源单独作用时结果的叠加，其分解电路如下图所示。,图中，由独立源在tt0时产生的响应为uC(t)，此时，电容的初始电压为零，该响应仅仅是由电路的输入引起，一般称为零状态响应。而仅仅是由电容的初始状态uC(t0)所引起的响应uC(t)称为零输入响应。,两种响应之和当然就是总响应或称之为全响应，它是由输入和非零初始状态共同作用的响应。因此，所谓零状态响应是指电路原始
5、状态为零，仅仅由激励源在电路中产生的响应，因而称为零状态响应。本节先讨论由输入恒定电源产生的一阶电路的零状态响应。,仍以上述RC串联电路为例，设t0=0，t0时输入阶跃波，其值为US，它相当于在t=0时通过开关使RC电路与直流电压源US接通，如图所示。,根据第一节RC电路的公式并结合上图电路可得t0时的电路方程为：初始条件：uC(0)=0。解此方程即可得到uC(t)。有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过，这里再简单回顾一下。,一阶微分方程的求解,一阶齐次方程的求解,这里，x(t)为待求变量，A 及X0 均为常数。,齐次方程和初始条件,（6）式称为微分方程的特征方程，其根称为微分方程的特征根
6、或固有频率。因而可求得：,先求通解（满足（1）式且含有一个待定常数的解。）,再确定待定常数K将初始条件（2）式代入通解（3）式，可得：,即,例：求解方程,其中 x(t)为待求变量，f(t)为输入函数，A、B 及X0 均为常数。,非齐次方程和初始条件,一阶非齐次方程的解,先求 xh(t)前已求得,再求 xp(t)特解 xp(t)的 形式与输入函数 f(t)的形式有关：,确定待定常数K,求得 xh(t)和 xp(t)后，将初始条件代入通解式，可确定待定常数K，从而得到原问题的解。,根据以上分析，对于方程：,非齐次方程特解,齐次方程通解,非齐次线性常微分方程,其解的形式：,它与输入激励的变化规律有关
7、，为电路的稳态解。,其变化规律由电路参数和结构决定。,的通解,的特解,全解,uC(0+)=A+US=0,A=-US 因此：,由初始条件 uC(0+)=0 确定积分常数 A,从以上式子可以得出：,由所得结果可见，电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暂态分量（自由分量）,说明,+,令=RC,它称为一阶电路的时间常数，因为：,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;,时间常数 是一阶电路非常重要的参数，因为它的大小反映了电路暂态或过渡过程时间的长短。,大过渡过程时间长,小过渡过程时间短,是电容电压衰减到原来电压36.8%所
8、需的时间。因此，工程上一般认为,经过(3 5),电路的过渡过程基本结束。,U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0,U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5,由此可见：,同样，对于如图所示的RL电路，其电流的零状态响应也可作类似分析。,应用KVL和电感的VCR可得：,连续,不连续,以上讨论了在直流电源或阶跃波作用下电路在t0时的零状态响应。这时，电路内的物理过程，实质上是动态元件的储能从无到有逐渐增长的过程。因此：电容电压或电感电流都是从它的零值开始按指数规律上升到达它的稳态值，时间常数分别为RC或L/R。当电路到达稳态时，电容相当于开路，电感相当
9、于短路，由此可确定电容或电感的稳态值。,零状态响应是由电容或电感的稳态值和时间常数所确定的，只要掌握了它们按指数规律增长的特点，求解时可不必每次再求解微分方程，即可直接写出uC(t)、iL(t）。而掌握了uC(t)和iL(t）后，根据置换定理就可求出其它各支路电压和电流。此外，若激励增大m倍，则零状态响应也相应增大m倍，这称为零状态响应的比例性。若有多个激励，还具有零状态响应的叠加性。因此，零状态响应是输入的线性函数。,能量关系,电容储存的能量：,电源提供的能量：,电阻消耗的能量：,这表明，电源提供的能量一半消耗在电阻上，只有一半转换成电场能量储存在电容中。,例,t=0时,开关S闭合，已知 u
10、C(0)=0，求：(1)电容电压和电流,(2)uC80V时的充电时间t。,解:,(1)这是一个RC电路零状态响应问题，则有：,(2)设经过t1秒，uC80V，则有：,例,t=0时,开关S打开，求t 0后iL、uL的变化规律。,解:,这是RL电路零状态响应问题。先化简成如图所示电路，有：,例,t=0时开关k打开，求t 0后iL、uL及电流源的电压。,解:,这是RL电路零状态响应问题，先化简电路如图所示，有：,作业：P233:6-1、6-4 P234:6-6、6-8,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动
11、态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,对于前述电路，分析时是在输入端加一个阶跃波US或IS。那么，它们能否用数学进行描述？为此，引入单位阶跃函数。,1、单位阶跃(unit-step)函数：,2、延时(delayed)单位阶跃函数：,t=0 开关闭合,i(t)=Is,在电路中可模拟开关的动作。,如：t=0 时开关闭合,引入单位阶跃函数的作用：,起始一个函数,延迟一个函数,任意信号f(t)的截取：,t1,用单位阶跃函数表示分段常量信号,已知电压u(t)的波形如图所示，试画出下列电压的波形。,3、阶跃(unit-step)信号：,4、延时(delayed
12、)阶跃信号：,1.单位阶跃响应：是指线性时不变电路在单位阶跃电压(t)作用下的零状态响应，我们用s(t)或g(t)表示。响应可以是电压，也可以是电流。2.单位阶跃响应的线性时不变性：若(t)s(t)，则 A(t)As(t)A(t-t0)As(t-t0)f(t)A(t)+B(t-t0)y(t)As(t)+Bs(t-t0),阶跃响应,时延不变性：若激励f(t)延迟t0接入，其零状态 响应也延迟t0时间，且波形保持不变，如图所示。,注意,激励在 t=t0 时加入，则响应也从t=t0开始。,-t,不要写为：,注意,3.阶跃响应的求法：由于单位阶跃函数作用于电路时，相当于单位直流源接入电路。所以，求阶跃
13、响应就是求单位直流源(1V或1A)作为激励接入电路时的零状态响应。,例 下图(a)所示电路，若以电流iL为输出，求其阶跃响应s(t)。解 根据阶跃响应的定义，令us=(t)，它相当于1V电压源在t=0时接入电路，如图(b)所示，而且电路的初始状态iL(0+)=iL(0-)=0。,由图(b)可知，iL的稳态值和该电路的时间常数分别为：,4.分段常量信号响应的求法：时延不变性：将分段常量信号用阶跃函数表示，求出阶跃响应后，根据线性电路的线性性质和时不变电路的时延不变性，就可以得到相应分段常量信号激励作用下电路的零状态响应。f(t)A(t)+B(t-t0),y(t)As(t)+Bs(t-t0),例
14、图(a)所示电路，其激励is的波形如图(b)所示。若以uC为输出，求其零状态响应。解 激励is可表示为,根据电路的线性和时延不变性，其对应的零状态响应为：,阶跃响应为：,零状态响应为：,求图示电路中电流 iC(t）,例,应用叠加定理,阶跃响应为：,由齐次性和叠加性得实际响应为：,分段表示为：,分段表示为：,引用单位阶跃函数(t)后，在电路分析中可能会遇到对(t)求导的问题。(t)是常量，当t0时为1，因此，在t0时，d(t)/dt=0。而在t=0时，(t)不连续，具有高度为1的阶跃，其斜率为无界。为此，把(t)的导数记为(t)，称为单位冲击函数。,1.单位冲激函数,定义,单位脉冲函数的极限,单
15、位冲激函数的延迟,单位冲激函数的性质,冲激函数对时间的积分等于阶跃函数,冲激函数的取样性,同理,例,f(t)在 t0 处连续,注意,冲激响应,激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应称为冲击响应。,冲激响应,3.单位阶跃响应和单位冲激响应的关系,单位阶跃响应,单位冲激响应,h(t),s(t),单位冲激,(t),单位阶跃,(t),激励,响应,先求单位阶跃响应：,求:is(t)为单位冲激时电路响应uC(t)和iC(t).,例,解:,uC(0+)=0,uC()=R,=RC,iC(0+)=1,iC()=0,再求单位冲激响应,令：,令,冲激响应,阶跃响应,作业：P236:6-13、6-15 P234
16、:6-16、6-17,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,第二节讨论了零状态响应，即电容或电感的初始状态为零，电路的响应仅由输入引起。实际中，电容或电感可能具有初始值，因此，电路的响应除由激励引起的一部分外，还有一部分是由电容或电感的初始值引起的。由初始值引起的响应部分的分析是把初始值看成一个电压源或电流源（见上一章），然后按照前述同样的分析方法即可得到所需结果。,从物理意义上看，零输入响应完全是依靠动态元件的初始储
17、能进行的。当电路中存在耗能元件R时，有限的初始储能最终将被消耗殆尽，零输入响应终将为零。这是一切含有耗能元件的动态电路中零输入响应的特点。,解得：,式中：RC 为电路的时间常数，具有时间的量纲。R是从电容C两端看进去的等效电阻。,代入初始条件，得,（1）uc(t)只与电容电压初始值uc(0+)及电路的特性有关（即与有关，它反映了电路的特性）；（2）响应与初始状态成线性，称为零输入线性；（3）时间常数决定了响应衰减的快慢。越大，响应衰减越慢；反之，越小，响应衰减越快。,对uc(t)的讨论：,工程上一般取过渡过程时间为 或 作为过渡过程。,电阻上的电压：,对于RC电路，任何支路上的零输入响应均具有
18、如下形式：,同样，电感上的电压为：,R为从动态元件两端看进去的等效电阻,是t0以后的时间常数。,连续函数,跃变,电压、电流随时间也是按同一指数规律衰减的函数；,由此可见,同样，对于RL电路，其零输入响应：,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与时间常数 有关;,L大 W=LiL2/2 起始能量大R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小，,大过渡过程时间长,小过渡过程时间短,物理含义,电流初值iL(0)一定：,能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。,设 iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,例：,图示电路中的电容原来充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路
19、电流随时间变化的规律。,解：,这是一个求一阶RC电路的 零输入响应问题，有：,分流得：,例：,t=0时,开关S由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12。,解：,作业：P237:6-23 P238:6-26、6-27,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,若动态电路中既有输入，又有原始储能，则电路中的响应称为全响应。全响应是由输入和原始储能共同产生的，且可通过叠加方式求出。因此：线性一阶电路的叠加原理：若初始时刻为t
20、=0，则对所有t0的时刻，有：1、全响应=零状态响应+零输入响应；2、零状态响应具有线性性质，即单输入电路的零状态响应与该输入成正比；3、零输入响应也具有线性性质，即零输入响应与原始状态成正比。,上述结论对线性n阶动态电路也成立。含动态元件电路全响应的求法：,t=0时开关闭合，则电路的微分方程：,初始条件：,可求得：,代入初值，可求得,如图所示RC电路，已知：,自由分量 uch（暂态分量）,强制分量 ucp（稳态分量）,零输入响应,零状态响应,于是有：,U0 US,电容放电,U0 US,电容充电,分析：,1、,即：完全响应暂态响应稳态响应 自由分量强制分量 齐次解特解 上式反映了电路具有两种工
21、作状态：过渡状态和稳态。当U0=US时（即初始值等于稳态值），无暂态过程，电路直接进入稳态。,2、,即：完全响应零输入响应零状态响应 上式称为线性动态电路的叠加定理。线性动态电路的叠加定理：完全响应是由来自输入和来自初始状态分别作用时所产生响应的代数和，即完全响应等于零输入响应加零状态响应。,而对于如图所示的RL电路，其微分方程为：,可求得：,代入初始值得：,同样也有：,若电路中含有多个独立电源和多个储能元件，则电路中任一电流或电压响应等于各独立源以及各储能元件原始状态单独作用时该响应的叠加。,作业：P238:6-29 P239:6-32,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运
22、用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,分解方法对任何情况都适用。但如果只对电路中的某一变量感兴趣，可以采用所谓的三要素法，它可用于求解电路中任一变量的零输入响应和直流作用下的零状态响应、全响应。由前面的分析可以看到，直流一阶电路中各处的电压、电流都是按指数规律变化的，它们都是从各自的初始值开始，逐渐增长或是逐渐衰减而到达稳态值的，且同一电路中各支路电流和电压的时间常数都是相同的。这类电路中的电压、,电流随时间变化的方式只有四种可能的情况，分别如下图所示。,上图中：y(t)
23、可以代表电路中的任一电压或电流；y(0+)表示该电压或电流的初始值；y()表示该电压或电流的稳态值；表示电路的时间常数。由此可见，在分析电路时，只要抓住y(0+)、y()和这三个要素，不仅能画出波形图，也能立即写出相应的解析表示式，不需背诵那些公式。,通过上例可见，运用三要素法的步骤及方法如下：1、先求初始值。初始值往往需要通过动态元件的初始值求出。假设已知电容电压初始值uC(0)或电感电流初始值iL(0)，用电压为uC(0)的直流电压源置换电容或用电流为iL(0)的直流电流源置换电感，所得电路是一直流电阻电路，称为t=0时的置换电路，由此电路即可求得任一电压或电流的初始值，即y(0+)。,2
24、、再求稳态值。电路到达稳态后，电容电压和电感电流均不在变化，因此，它们对直流分别相当于开路和短路，因此，用开路置换电容或用短路置换电感，所得电路仍为一直流电阻电路，称为t=时的置换电路，由此电路可求得任一电压或电流的稳态值，即y()。,3、求去除动态元件后其它部分的戴维南或诺顿等效电路，以此计算电路的时间常数=R0C或=L/R0。4、根据1、2、3所得结果，即可得到所需结果：,y(0+)、y()、的具体求法：1、求y(0+)：(a)先从0考虑（即换路前的稳态），C开路，L短路，画出0_时的等效电路，求出iL(0-)、uC(0-)。(b)根据uC(0+)uC(0-)，iL(0+)iL(0-)，可
25、得出t=0+时的等效电路,进而求出其它支路上的u(0+)、i(0+)。,(c)t=0+时，若uC(0+)=0，则用短路线置换电容；iL(0+)0，则用开路置换电感；而若uC(0+)=U0，则用电压为U0的电压源置换电容；iL(0+)I0，则用电流为I0的电流源置换电感。2、求y()：换路后且达到稳态，C开路，L短路，得到t时的等效电路，由此电路可求出u()、i()。3、时间常数:同一个电路只有一个，RC或=L/R，R为从动态元件两端看进去的等效电阻。,三要素法小结：通过上述各例可见，三要素法的难点在于正确得出初始值。只有uC和iL不能跃变，利用它们的初始值可得到电路中其他部分电压、电流的初始值
26、，而这些初始值可能是跃变的，也可能并不跃变，但需要通过计算才能确定其具体数值。为此，正确作出t=0+置换电路非常重要。若电路在t=0时换路，下表有助于作出该电路，且也有助于求稳态值。,作业：P240:6-39、6-40、6-41,三要素法小结,通过对动态电路的分析可以看到，直流一阶电路中各处的电压、电流都是按指数规律变化的，它们都是从各自的初始值开始，逐渐增长或是逐渐衰减而到达稳态值的，且同一电路中各支路电流和电压的时间常数都是相同的。这类电路中的电压、电流随时间变化的方式只有四种可能的情况。,由此可见，在分析电路时，只要抓住y(0+)、y()和这三个要素，不仅能画出波形图，也能立即写出相应的
27、解析表示式，且四种情况可归结为一个表达式，而不再需背诵所有公式，即：,y(0+)、y()、的具体求法：1、求y(0+)：(a)先从0考虑（即换路前的稳态），C开路，L短路，画出0_时的等效电路，求出iL(0-)、uC(0-)。(b)根据uC(0+)uC(0-)，iL(0+)iL(0-)，可得出t=0+时的等效电路,进而求出其它支路上的u(0+)、i(0+)。,(c)t=0+时，若uC(0+)=0，则用短路线置换电容；iL(0+)0，则用开路置换电感；而若uC(0+)=U0，则用电压为U0的电压源置换电容；iL(0+)I0，则用电流为I0的电流源置换电感。2、求y()：换路后且达到稳态，C开路，
28、L短路，得到t时的等效电路，由此电路可求出u()、i()。3、时间常数:同一个电路只有一个，RC或=L/R，R为从动态元件两端看进去的等效电阻。,三要素法的难点在于正确得出初始值。特别注意！只有uC和iL不能跃变，利用它们的初始值可得到电路中其他部分电压、电流的初始值，而这些初始值可能是跃变的，也可能并不跃变，但需要通过计算才能确定其具体数值。为此，正确作出t=0+置换电路非常重要。若电路在t=0时换路，下表有助于作出该电路，同样也有助于求稳态值。,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定
29、理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,本章从第二节到第五节是通过叠加方法来研究一阶电路的。而本章最后两节则从电路的工作状态瞬态和稳态来研究一阶电路。由于动态电路中有储能元件，因此，对输入或电路状况（例如参数）的变化，电路不能作出即时反应。如，当把直流电压源施加于RC串联电路时，需要经过一段时间后才能达到稳定状态，这段时间，电路处于瞬态。因此，电路从时间上说可分为两种工作状态瞬态和稳态。,其实，许多动态电路都呈现出这两种工作状态，因而构成了动态电路分析的一项内容。稳定状态（稳态）是指当描述动态电路的变量是不随时间而变的常量，或者是随时间而变的周期量时，称此电路进入
30、稳态。电路不处于稳态即处于瞬态（暂态、瞬变）或非稳态。瞬态往往明显地具有从一种稳态或工作状态进入另一种稳态或工作状态的特征，常常又称为过渡过程。,下面讨论如何求解电路的瞬态响应和稳态响应。先回顾一下第二节中所示零初始状态的RC电路被直流电压源US充电情况。,该电路方程为：,uC(t)由两项组成。第一项US为稳态值，即直流电压源要求电容电压达到的数值，称为uC(t)的稳态响应分量或强制响应分量，如上图曲线。,但由于电容电压的连续性质，在电压源作用到电路瞬间，电容电压将“坚持”在原有的初始值UC(0)，不能立即满足电压源对电路的要求。第二项 的出现就是为解决这一矛盾的。这一分量的初始值为-US，与
31、t=0时的稳态分量US相抵消，以满足uC的初始值为零的要求，以后即随时间按指数规律逐渐消失，直到t=(45)时，可认为已消失为零，这时，uC(t)才达到直流电压源所要求的数值，即US。这第二项是暂时存在的，故称为瞬态响应分量，其一般形式为，,而此处的K=-US,实际上为uC(0)与t=0时稳态值之差，波形如下图所示。这一分量又称为固有响应分量或自由响应分量，可认为是外施电源作用于电路后，电路本身作出的反应。uC(t)的响应如图中曲线所示。,对非零初始状态、直流作用下的全响应，也可分为稳态响应分量和瞬态响应分量。稳态响应分量可按换路后的直流电阻电路(C以开路、L以短路置换)求得，如同三要素法中求
32、解y()。瞬态响应分量一般形式为，而K应为初始值与t=0时稳态值之差。因此，有：全响应=稳态响应+(初始值-稳态值t=0),在第二节和第五节中，从叠加观点得到：全响应=零状态响应+零输入响应 本节从工作状态观点得到：全响应=稳态响应+瞬态响应 当研究激励与初始状态对全响应的影响时，可采用零状态响应和零输入响应的概念，由这两种响应叠加得出全响应。而当研究电路的稳态时，需求解电路的稳态响应。研究过渡过程则既要求得稳态响应，又要求得瞬态响应，但这里所说的相加则并无叠加的含义。,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5
33、 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦交流电压和电流，它们都属于正弦波。正弦波是周期波形的基本形式，在电路理论和实际工作中都占有极其重要的地位。它可通过发电机、电子振荡器产生。正弦电压波形如下图所示。,正弦规律既可用时间的sin函数表示，也可用时间的cos函数表示，本书采用cos函数，仍可称为正弦波。上图所示正弦电压的瞬时值可表示为：u(t)=Umcost,u(t)=Umcost 这里，Um为电压的振幅或最大值，是一个常量；t是一个随时间变化的角度，则是一个与频率f 有关的常量，=2/T=2f T为周
34、期，单位为秒(s)，频率f的单位为赫(Hz)，称为角频率，单位为弧度/秒(rad/s)。我国电力系统提供的交流电压，其频率f为50赫兹，为100 rad/s。,一般情况下，正弦波的时间起点不一定恰好选在最大值的瞬间，例如下图所示。如果以角度计量，时间起点选在离最大值瞬间之后角处，亦即当t=-时，才有u=Um。因此，该正弦电压应表示为：u(t)=Umcos(t+),u(t)=Umcos(t+)式中，称为初相角，简称初相，它反映了正弦波初始值的大小，即：u(0)=Umcos()正弦电压还可表示为：u(t)=Umcos(2f t+)由此可见，一个正弦波可由三个参数完全确定，即：振幅、频率（或角频率或
35、周期）以及初相，他们称为正弦波的三个特征。,下面来求解如图(a)所示RC电路在t=0时与图(b)所示正弦电压源接通后的正弦响应uC(t)。设输入的正弦电压为：uS(t)=USmcos(t+)t0 电路的微分方程与前述一样，只是输入不再是US，而是正弦时间函数，即：,设电容的初始电压uC(0)=0。方程的解uC(t)同样也由稳态解uCp(t)和瞬态解uCh(t)组成。稳态解即上节所称的稳态响应，即电路完全由外施电源主宰时的响应，显然是与输入同一频率的正弦时间函数，即：uCp(t)=UCmcos(t+u)其中，UCm和u为待定常数。为确定该常数，可将uCp(t)带入微分方程，得到：,将上式左端两项
36、相加后，得：,稳态响应波形如下图所示。,另外，在电源接入电路的瞬间，电路中还将产生瞬态响应，以满足初始条件的需要，即保持电容电压的连续性。本电路中，稳态响应uCp(t)在t=0时的值为uCp(0)=UCmcos(0+u)=UCmcosu，而初始条件uC(0)=0，两者并不一致。由瞬态响应初始值K的一般表示式：K=uC(0)-UCmcosu 当uC(0)=0时，K=-UCmcosu。=RC。,所以，电路的全响应为：全响应波形如下图所示。,在t=(45)期间，电路处于过渡过程，在此期间，响应不是按正弦方式变化，如上页图实线所示。而当电路进入稳态后，响应将按与外施激励一致的正弦方式变化，这一响应特称
37、为正弦稳态响应（第三篇还将专门讨论）。如果uC(0)0而恰好等于UCmcosu，电路将无瞬态响应分量，换路后电路立即进入正弦稳态。而在零状态条件下，要使K值为零，此情况显然发生在稳态响应分量的初相 时。那么，根据 可知，如果，,则正弦输入的初相必须等于，也就是说，如果在正弦输入与电路接通的瞬间，其初相刚好等于这一数值，电路将立即进入稳态。反过来，在零状态条件下，如果换路发生在稳态响应分量的初相u=0或时，则根据K=-UCmcosu，K值将为-UCm或UCm，达到了最大可能值。在此情况下，过渡过程中将可能出现过电压现象，亦即电压瞬时值超过稳态电压最大值的现象，如下页图所示。,对于非零初始状态，分析方法完全一样，但在前述结果中需增加零输入响应 项。因此，当uC(0)0时，,作业：P241:6-45、6-47,
