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1、1/51,多元函数微分法及其应用,第七章,习题课,一、关于多元函数极限的题类,二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类,三、关于偏导数、全微分计算的题类,四、关于多元函数微分学应用的题类,1.几何应用.,2.极(最)值,2/51,本章基本概念及其关系,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1.多元函数的定义、极限、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2.几个基本概念的导出关系,3/51,【必须熟练掌握本章以下几个概念之间的关系】,4/51,一、关于多元函数极限的题类,二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算也更困难：,【例1】,【解】,取路
2、径 y=k x，则,与k有关,故不存在.,【例2】,初等函数.(1,0)定义域内点.连续.代入法,【例3】,换元,化为一元函数的极限,5/51,【阅读与练习】,求下列极限,【解】,【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧,6/51,【例4】,【解】,由于,且,故原极限=0,夹逼准则,(4)【法】,【法】,夹逼准则,7/51,二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类,1.一般来说，讨论二元函数z=f(x,y)在某点的连续性、可偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判断.,连 续,可偏导,可 微,内含三条，缺一不可,包括高阶偏导数定义等
3、,8/51,2.【二元函数在区域内的偏导数】,9/51,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如u=f(x,y,z)在(x,y,z)处,3.【多元函数的偏导数】,10/51,4.【偏导数的几何意义】,如图,11/51,12/51,【5.几何意义】,13/51,【例1】,【解】,14/51,【解】,15/51,【证】,原结论成立,【证完】,16/51,例4.计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解:,例5.计算函数,的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,17/51,作业 p100 同济p62,p69,18/51,三、关于高阶偏导数、全微分计算的题类,二阶纯偏导数,二阶混合偏导数
4、,1.【高阶偏导数的定义】,19/51,【定义式】,其余类推,(2)同样可得：三阶、四阶、以及n 阶偏导数。,(3)【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。,【解】,20/51,【解】,21/51,例3.求函数,解:,注意:此处,但这一结论并不总成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的二阶偏导数及,22/51,(4)【问题】,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？,即混合偏导数与求导次序无关.,23/51,2.【多元复合函数求导法则】,(1)【可导充分条件】内层函数偏导存在,外层函数偏导连续,(2)【复合函数求导链式法则】,全导数,24/51,例1.设,解:,机动 目录 上页 下页
5、 返回 结束,25/51,【例2】,【解】,【注意】,26/51,例3.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27/51,【例4】,【解】,【分析】抽象函数无中间变量,引入记号f 1,f 12等.,28/51,为简便起见,引入记号,例5.设,f 具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 p100 同济p69,p75,29/51,3.【全微分】全微分各偏微分之和,u,v是自变量或中间变量,4.【隐函数的求导法则】,(1)公式法,(2)推导法(直接法)方法步骤,x、y、z 等各变量地位等同,公式不必记,要求掌握推导法,解由得到的方程(组),解出要求的偏导数
6、.,形式不变性,搞清哪个(些)是因变量、中间变量、自变量；,将方程(组)两边同时对某个自变量求(偏)导；,其余自变量的偏导数同理可求.,30/51,例1.设,解法1 利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对 x 求导,31/51,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32/51,例2.设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,练习:求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,由题设,故有,33/51,【例3】,【解】,【分析】,确定y=y(x),z=z(x),u=u(x)三方程两边同时对x求导.,于是可得,34/51,【例4
7、】,【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数.,【解】,公式法,x,y,z.地位等同,35/51,【解】推导法（直接法）,【例4】,【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数.,z是x,y的函数,两边同时对y求导,36/51,【解】全微分法,【例4】,【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数.,（作业 p100 同济p89）,37/51,四、关于多元函数微分学应用的题类,1.【几何应用】,空间曲线有切线和法平面,退化情形,(P85;同济p94),38/51,空间曲面有切平面和法线,退化情形,(P88;同济p98),39/51,【例1】,【解】,方程、法线方程和向上法线的方向余弦.,切平面,法 线,向上法线方
8、向与z 轴正向夹角为锐角，故所求方向余弦为,40/51,【解】,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,【分析】为隐式情形（待定常数法）,41/51,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),42/51,【解】,切线方程,法平面方程,43/51,【例4】,【解】,【分析】,空间曲线方程为一般式，理论上化为参数式，再用隐函数求导的推导法（直接法）求导.,曲线方程为,切 线：,法平面：,（即P87例2同济p96例5）,（作业 p105 同济p100）,44/51,二元函数极值的判定定理,2.【极(最)值】,45/51,【解】,（此为隐函数的极值问题）,46/51,47/51,求出实数解，得驻点.,48/51,条件极值的求法,法:化为无条件极值（如例1）,法:拉格朗日乘数法,对三元以上的函数特别有用,（2）【拉格朗日乘数法】,49/51,【例1】,【解】,【分析】,50/51,得,用拉格朗日乘数法,51/51,（作业 p105 同济p118）,
